В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, сторона $AC$ равна $\sqrt2$. Описанная около треугольника $ABD$ окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$. Найдите площадь треугольника $ACD$, если $R_1:R_2=\sqrt3$, где $R_1$, $R_2$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ длина биссектрисы угла $A$ равна 4, угол $A=60^\circ$. На серединном перпендикуляре к катету $CB$ в точке $Q$ лежит центр окружности, которая касается прямых $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OQM$, где точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите $CD$, если $AC=\sqrt5+1$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=4$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $M$, а стороны $AC$ — в точке $K$. На стороне $AB$ выбирается точка $N$ так, что отрезок $MK$ делит отрезок $CN$ пополам. Найдите длину отрезка $AN$, если $AB=8$, $AC=7$, $BC=6$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^\circ$, отрезок $CH$ — высота. Окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R=\frac{\sqrt{39}}{3}$ описана около треугольника $ABC$. В треугольник $BCH$ вписана окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $r=\sqrt3-1$. Найдите длину $O_1O_2$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ со сторонами $AB=5$, $BC=8$, $AC=7$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. На прямой $MN$ отмечена точка $K$ так, что угол $OAK$ равен $60^\circ$. Найдите длину отрезка $KN$.
Ответ:
Решение:
Дизайнер спроектировал офисное помещение с основанием в виде прямоугольного треугольника $ABC$, угол $C$ прямой. С помощью потолочного освещения помещение разбито на зоны следующим образом: большой светильник $P$ освещает площадь $S$, ограниченную окружностью, которая вписана в треугольник $ABC$. Если к этой окружности провести внутри треугольника $ABC$ касательные, параллельные сторонам комнаты, то получатся ещё три треугольника при вершинах $A$, $B$ и $C$, в которые можно вписать маленькие окружности, ограничивающие площади $S_A$, $S_B$, $S_C$. Эти площади освещаются дополнительными светильниками $P_A$, $P_B$, $P_C$. Найдите радиусы всех окружностей и освещённость каждой зоны, если площадь треугольника равна $S_{ABC}=240$ м$^2$, гипотенуза $AB=34$ м, величина угла $BAC$ меньше величины угла $CBA$, а показатели световой отдачи (яркости) светильника $P$ составляет 51840 лм, светильника $P_A$ — 28512 лм, светильника $P_B$ — 5670 лм и светильника $P_C$ — 1620 лм. Освещённость $E_x$ площади $S_x$ светильником $P_x$ с показателем световой отдачи $F_x$ рассчитывается по формуле $E_x=\dfrac12\cdot\dfrac{F_x}{S_x}$ лк, где $\dfrac12$ — поправочный коэффициент, лк — люкс, лм — люмен.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность с центром $O$. Касательная к окружности пересекает стороны $BC$ и $CA$ треугольника в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти радиус окружности, если $\angle MNC=2\angle NMC$, $OM=\sqrt{10}$, $ON=\frac{15}{4}$.
Ответ:
Решение:
Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружности.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена медиана $CD$. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, если $BC=4$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $\frac52$.
Ответ:
Решение:
Один из углов треугольника равен $\dfrac{3\pi}{4}$, радиус вписанной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен $16\left(6+\sqrt{2}\right)$. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, медиана $AD=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$. На биссектрисе $CE$ выбрана точка $F$ такая, что $CF=\dfrac{CE}{5}$. Через точку $F$ проведена прямая $l$, параллельная $BC$. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до прямой $l$.
Ответ:
Решение:
Найти стороны параллелограмма $ABCD$, в котором радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны 5 и $\sqrt{13}$ соответственно, а растояние между центрами этих окружностей равно 2.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ периметра 40 и площади 60 сторона $BC$ равна 16. Внутри треугольника $ABC$ взята точка $D$, удалённая на расстояние 1 от прямой $AB$ и на расстоянии 2 от прямой $AC$. Найти угол $BAC$ и расстояние от $D$ до центра вписанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположены такие точки $D$, $E$ и $F$, что точка $D$ лежит на отрезке $AE$, точка $E$ лежит на отрезке $BF$, а точка $F$ лежит на отрезке $CD$. Известно, что центр окружности $\Omega$, описанной вокруг треугольника $ABC$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $DEF$. Также дано, что $\angle DEF=90^\circ$, $DE/EF=5/3$, радиус окружности $\Omega$ равен $6$, а отношение площадей $S_{ABC}/S_{DEF}=12{,}8$. Найдите $DF$.
Ответ:
Решение:
В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $AK_1=4$, $BK_2=6$ и $AB=16$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
Ответ:
Решение:
В углы $C$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $BC$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $CK_1=3$, $BK_2=7$ и $BC=16$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
Ответ:
Решение:
Точка $A$ лежит на стороне $LM$ треугольника $KLM$ с углом $120^\circ$ при вершине $K$. В треугольники $AKL$ и $AKM$ вписаны окружности с центрами $F$ и $O$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $FKO$, если $AO=2$, $AF=7$.
Ответ:
Решение:
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $F$. Оказалось, что $AB=BF$ и $FC=CD$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABF$, $FCD$, $BFC$ равны 2, 5 и 4 соответственно. Найдите отношение $AF:FD$.
Ответ:
Решение: