Через вершину $D$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $\ell$, и на неё опущены высоты $AX$, $BY$, $CZ$, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата $ABCD$ равна 169, а длина отрезка $AX$ равна 5.
1. Найдите длину отрезка $CZ$.
2. Найдите длину отрезка $BY$.
1. Найдите длину отрезка $CZ$.
2. Найдите длину отрезка $BY$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ и равнобедренный прямоугольный треугольник $AEF$ ($\angle AEF=90^\circ$) расположены так, что точка $E$ лежит на отрезке $BC$ (см. рисунок). Найдите угол $DCF$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ и стороне $CD$ квадрата $ABCD$ выбрали точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN=MD$. Найдите, чему равна длина отрезка $CN$, если $MN=10$, $AB=14$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$ так, что $CK=BC$. На стороне $BC$ отмечена точка $M$ так, что $KM=CM$. Докажите, что $AK+BM=CM$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина боковой стороны $CD$. Лучи $BD$ и $BM$ делят угол $ABC$ на три равные части. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Найдите углы трапеции.
Ответ:
Решение:
Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $\angle ADC=2\angle CAD=82^\circ$. Внутри трапеции выбрана точка $T$ так, что $CT=CD$, $AT=TD$. Найдите $\angle TCD$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
Внутри трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ отметили точку $O$. Оказалось, что \[AO=BO=CO=BC\quad\text{и}\quad DA=DO=DC.\] Сколько градусов составляет угол $BAO$?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) \[AD=2,\quad BC=1,\quad \angle ABD=90^\circ.\] Найдите сторону $CD$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD$. Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Докажите, что $BE=CE$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше боковой стороны $CD$. Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Докажите, что $AK\gt KB$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ADC$. На основаниях $BC$ и $AD$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=BD$ и $AY=CD$. Оказалось, что $\angle BCD=130^\circ$. Найдите величину угла $AXY$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$, где $AD\parallel BC$, угол $B$ равен сумме углов $A$ и $D$. На продолжении отрезка $CD$ за вершину $D$ отложен отрезок $DK=BC$. Докажите, что $AK=BK$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$. Известно, что $\angle EBC=25^\circ$, $\angle BCA=32^\circ$, $\angle BAC=60^\circ$. Точка $D$ на плоскости такова, что $AD\parallel BE$. Какое наименьшее значение может принимать величина угла $\angle DAB$? Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
Два маляра красят 15-метровый коридор. Каждый из них движется от начала коридора в его конец и в какой-то момент начинает красить, пока не кончится краска. У первого маляра есть красная краска, и её хватит на покраску 9 метров коридора; у второго — жёлтая краска, и её хватит на 10 метров.
Первый маляр начинает красить, когда оказывается в двух метрах от начала коридора; а второй заканчивает красить, когда находится в метре от конца коридора. Сколько метров коридора покрашено ровно в один слой?
Первый маляр начинает красить, когда оказывается в двух метрах от начала коридора; а второй заканчивает красить, когда находится в метре от конца коридора. Сколько метров коридора покрашено ровно в один слой?
Ответ:
Решение:
На прямой отмечены 5 точек $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$ именно в таком порядке. Известно, что сумма расстояний от $P$ до остальных 4 точек равна 67, а сумма расстояний от $Q$ до остальных 4 точек равна 34. Найдите длину отрезка $PQ$.
Ответ:
Решение:
Начертите четыре луча $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ с общим началом так, чтобы на этом чертеже нашлись углы в $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$, $130^\circ$ и $140^\circ$. Запишите, какие именно углы имеют указанные величины.
Ответ:
Решение:
Дома Андрея, Бори, Вовы и Глеба расположены в некотором порядке на одной прямой улице. Расстояние между домами Андрея и Бори, как и расстояние между домами Вовы и Глеба, равно 600 м. Чему может равняться в метрах расстояние между домами Андрея и Глеба, если известно, что оно в 3 раза больше, чем расстояние между домами Бори и Вовы? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен $34^\circ$. Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом?
Ответ:
Решение:
На длинной полоске ткани сделали две отметки. Если согнуть полоску относительно первой отметки, то расстояние между её концами составит 95 сантиметров; если согнуть полоску ткани относительно второй отметки, то расстояние между её концами составит 83 сантиметра.
Определите расстояние между отметками. Ответ выразите в сантиметрах.
Определите расстояние между отметками. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ:
Решение:
В деревне Матитика вдоль прямой дороги живут (в указанном порядке) пять подружек: Аля, Белла, Валя, Галя и Диля. Каждая из них нашла сумму расстояний (в метрах) от её дома до домов остальных. Белла назвала число 700, Валя — 600, Галя — 650. Сколько метров между домами Беллы и Гали?
Ответ:
Решение: