В окружность $\Omega$ вписан шестиугольник $AECDBF$. Известно, что точка $D$ делит дугу $BC$ пополам, а треугольники $ABC$ и $DEF$ имеют общую вписанную окружность. Прямая $BC$ пересекает отрезки $DF$ и $DE$ в точках $X$ и $Y$, а прямая $EF$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Докажите, что точки $X$, $Y$, $T$, $Z$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность $\omega$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пересекает окружность $\omega$ в точках $K$ и $L$. Точка $N$ — середина дуги $CD$ описанной окружности треугольника $PCD$, не содержащей точку $P$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. На стороне $AB$ выбрана точка $L$ так, что $AL=CK$. Отрезки $AK$ и $CL$ пересекаются в точке $M$. На продолжении отрезка $AD$ за точку $D$ отмечена точка $N$. Известно, что четырехугольник $ALMN$ — вписанный. Докажите, что $\angle CNL=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$. На биссектрисе угла $ABC$ внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, а на отрезке $BD$ — точка $E$ так, что $AE=BE$ и $BD=CD$. Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, описанных около треугольников $AOE$ и $COD$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $C$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой или на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB\lt BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $B$. Вписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $K$. Прямая, проходящая через $K$ и параллельная $MH$, пересекает отрезок $MN$ в точке $P$. Докажите, что в четырехугольник $AMPK$ можно вписать окружность.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ — середина дуги $ABC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $E$, а на отрезке $CD$ — точка $F$. Известно, что $ME=MD=MF$. Докажите, что точки $B$, $M$, $E$ и $F$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A+\angle D=90^\circ$. Его диагонали пересекаются в точке $E$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$, $CD$, $AE$ и $ED$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Известно, что $AZ=CE$ и $BE=DT$. Докажите, что длина отрезка $XY$ равна диаметру окружности, описанной около треугольника $ETZ$.
Ответ:
Решение:
Выпуклые четырёхугольники $ABCD$ и $KLMN$ расположены так, что прямые $KL$, $LM$, $MN$ и $NK$ являются биссектрисами внешних углов $A$, $B$, $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. При этом $ABCD$ не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника $KLMN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что если $\angle BAD=\angle BCD\lt 90^\circ$, то $PA=PC$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный пятиугольник $ABCDE$. На стороне $AE$ отмечена точка $K$, на стороне $CD$ — точка $L$. Известно, что $\angle LAE+\angle KCD=108^\circ$, $AK:KE=3:7$. Найдите $CL:AB$.
Правильный пятиугольник — пятиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Правильный пятиугольник — пятиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $46^\circ$, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом $n$-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого $n$-угольника равны $63^\circ$ и $97^\circ$. Какое наибольшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $PQRST$ угол $PRT$ в два раза меньше, чем угол $QRS$, а все стороны равны. Найдите угол $PRT$.
Ответ:
Решение:
Назовём многоугольник хорошим, если у него найдётся пара параллельных сторон. Некоторый правильный многоугольник разрезали непересекающимися (по внутренним точкам) диагоналями на несколько многоугольников так, что у всех этих многоугольников одно и то же нечётное количество сторон. Может ли оказаться, что среди этих многоугольников есть хотя бы один хороший?
Ответ:
Решение:
На каждой стороне выпуклого 100-угольника отметили по две точки, делящие эту сторону на три равные части. После этого всё, кроме отмеченных точек, стёрли. Докажите, что по отмеченным точкам можно однозначно восстановить исходный 100-угольник.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, $\angle D=100^\circ$, $BC=12$. На стороне $AD$ есть такая точка $L$, что $\angle ABL=50^\circ$, $LD=4$. Найдите длину $CD$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ — середина стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$. На отрезке $DE$ нашлась такая точка $F$, что $AD=BF$. Найдите величину угла $CFD$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ и продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбраны соответственно точки $K$, $L$ и $M$ так, что треугольники $KLM$ и $BCA$ равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок $KM$ пересекает отрезок $AD$ в точке $N$. Докажите, что $LN\parallel AB$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 6, сторона $BC$ равна 11. Из вершин $B$ и $C$ проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону $AD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Найдите длину отрезка $XY$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $P$, а на стороне $CD$ — точка $Q$. Известно, что $\angle BCP=17^\circ$, $\angle AQP=37^\circ$, $\angle QAD=16^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle CPQ$?
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $K$. Точка $H$ на отрезке $AK$ такова, что $\angle AHD=90^\circ$. Оказалось, что $AK=BC$. Сколько градусов составляет угол $ADH$, если $\angle CKD=71^\circ$?
Ответ:
Решение: