Среди всех решений уравнения \[3\,930\,400x=y^z,\] где $x$, $y$, $z$ — натуральные числа, причём $z\geqslant2$, найдите такое, при котором $x$ принимает наименьшее значение. В ответе укажите соответствующее значение $y$.
Ответ:
Решение:
Олег должен написать в тетради $373$ подряд идущих натуральных числа таких, что их среднее арифметическое — простое число. Какое наименьшее число он мог написать в тетради?
Ответ:
Решение:
Числа $p$ и $q$ — простые, и при этом выполнено равенство \[ 7p+q^5=17\,528. \] Найдите наибольшее возможное значение суммы $p+q$.
Ответ:
Решение:
На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число $A=1188$, чтобы получилось некоторое натуральное число в натуральной степени, отличной от $1$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, которое невозможно представить в виде суммы двух составных чисел.
Ответ:
Решение:
На шахматной доске $8\times8$ расставили 64 шашки с номерами от 1 до 64. 64 ученика по очереди подходят к ней и переворачивают только те шашки, номера которых делятся нацело на порядковый номер очередного ученика. «Дамка» — это шашка, которая перевернута нечетное количество раз. Сколько «дамок» будет на доске, после того как последний ученик отойдет от нее?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Натуральное число имеет ровно два простых делителя. Его квадрат имеет $85$ различных натуральных делителей. Какое наибольшее количество различных натуральных делителей может иметь куб этого числа?
Ответ:
Решение:
Натуральное число имеет ровно два простых делителя. Его квадрат имеет $51$ различных натуральных делителей. Какое наибольшее количество различных натуральных делителей может иметь куб этого числа?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $ab$ делится на $2^{14}7^{10}$, $bc$ делится на $2^{17}7^{17}$, $ac$ делится на $2^{20}7^{37}$. Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует троек натуральных чисел $(a;b;c)$ таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение $abc$ равно $2^{150}\cdot3^{300}$?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $ab$ делится на $2^9 3^{10} 5^{10}$, $bc$ делится на $2^{14} 3^{13} 5^{13}$, $ac$ делится на $2^{19} 3^{18} 5^{30}$. Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc$.
Ответ:
Решение:
Про натуральные числа $n$, $m$, $k$ и $l$ известно, что $mn=kl=350$. Оказалось, что точки с координатами $(m,n)$ и $(k,l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $ab$ делится на $3^{11}7^{11}$, $bc$ делится на $3^{18}7^{16}$, $ac$ делится на $3^{21}7^{38}$. Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc$.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a-b=12$, а значение выражения $a^2+2ab+b^2+3a+3b$ равно $19p^4$, где $p$ — некоторое простое число. Найдите числа $a$ и $b$.
Ответ:
Решение:
Из множества $M$, состоящего из пяти подряд идущих натуральных чисел, выбираются четвёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из четвёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$, если $p^2-q^2=240$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное значение параметра $t$, при котором число \[ 4t^4-96t^2+1 \] является простым.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки натуральных чисел $(A;B;C)$ такие, что:
- $A$ — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр,
- $B$ — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2,
- $C$ — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3,
- произведение $A\cdot B\cdot C$ является квадратом некоторого натурального числа.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно представить число $n=2^{401}\cdot 3^{500}$ в виде произведения двух натуральных чисел $x$ и $y$, где $y$ делится на $x$?
Ответ:
Решение: