Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, обладающие следующим свойством: $7p+1$ делится на $q$, а $7q+1$ делится на $p$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\dfrac{a}{x}$, что в первой координатной четверти ($x\gt 0$, $y\gt 0$) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Ответ:
Решение:
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4$, $\ldots$, $\ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Ответ:
Решение:
Цена на товар повышалась в последний день каждого месяца на 5, $4\frac16$, $2\frac67$ или $6\frac23$ процентов. Сколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно на 50%?
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/2]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 21$, $1\leqslant y\leqslant 21$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=p$ для любого простого числа $p$. Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant18$, $1\leqslant y\leqslant18$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных квадратных трехчленов \[ f(x)=x^2+px+q \] с целыми коэффициентами $p$, $q$, для которых выполнены два условия:
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
Ответ:
Решение:
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идёт стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\gt 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число. Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ выписали все его натуральные делители $p_l$ в порядке возрастания: $1=p_1\lt p_2\lt \ldots\lt p_k=N$. Обозначим количество натуральных делителей числа $N$ через $\sigma(N)$. Найдите все возможные значения $\sigma(N^3)$, если известно, что \[ p_3\cdot p_4\cdot p_{1876}\cdot p_{1877}\geqslant N^2. \]
Ответ:
Решение:
Радикалом натурального числа $N$ (обозначается $\operatorname{rad}(N)$) называется произведение всех простых делителей числа $N$, взятых по одному разу. Например, $\operatorname{rad}(120)=2\cdot 3\cdot 5=30$. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел $A$, $B$, $C$, что $A+B=C$ и $C\gt 1000\cdot\operatorname{rad}(ABC)$?
Ответ:
Решение:
Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?
Ответ:
Решение:
Возрасты трёх братьев — это различные натуральные числа. Произведение их возрастов сейчас равно 18. А через год произведение их возрастов будет равно 60. Сколько лет среднему брату сейчас?
Ответ:
Решение:
В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?
Ответ:
Решение:
На столе лежали карточки с цифрами от 1 до 9 (всего 9 карточек). Катя выбрала четыре карточки так, что произведение цифр на двух из них равно произведению цифр на двух других. Затем Антон забрал ещё одну карточку со стола. В итоге на столе остались лежать карточки с цифрами 1, 4, 5, 8. Карточку с какой цифрой забрал Антон?
Ответ:
Решение:
Произведение девяти последовательных натуральных чисел делится на 1111. Какое наименьшее возможное значение может принимать среднее арифметическое этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19. На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали? (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел $a$ и $b$, б\'{о}льших 1, удовлетворяющих уравнению $a^{13}\cdot b^{31}=6^{2015}$.
Ответ:
Решение:
По определению $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$. Докажите, что выражение $1008!\cdot1009!\cdot2017!\cdot2018!$ не является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём интересным, если $2n$ является точным квадратом, а $15n$ — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число.
Ответ:
Решение: