Можно ли раскрасить все натуральные числа в два цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не являлась степенью двойки?
Ответ:
Решение:
На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?
Ответ:
Решение:
На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в чёрный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцветных треугольника не имели общего отрезка границы?
Ответ:
Решение:
Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?
Ответ:
Решение:
Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Здесь цена натурального числа — это сумма цен цифр в его записи.
Ответ:
Решение:
Будем называть две клетки клетчатой таблицы соседями, если у них есть общая сторона. Можно ли покрасить в белой таблице размером $10\times10$ клеток 32 клетки в черный цвет так, чтобы у каждой черной клетки было поровну черных и белых соседей, а у каждой белой клетки — не поровну?
Ответ:
Решение:
Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника?
Ответ:
Решение:
Можно ли вписать в клетки таблицы $3\times3$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $S(k)$ сумму цифр натурального числа $k$. Натуральное число $a$ назовём $n$-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$, что $a_n=a$ и $a_{i+1}=a_i-S(a_i)$ при всех $i=0,1,\ldots,n-1$. Верно ли, что для любого натурального $n$ существует натуральное число, являющееся $n$-хорошим, но не являющееся $(n+1)$-хорошим?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?
Ответ:
Решение:
На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?
Ответ:
Решение:
Натуральное число $N$ представляется в виде \[ N=a_1-a_2=b_1-b_2=c_1-c_2=d_1-d_2, \] где $a_1$ и $a_2$ — квадраты, $b_1$ и $b_2$ — кубы, $c_1$ и $c_2$ — пятые степени, а $d_1$ и $d_2$ — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел $a_1$, $b_1$, $c_1$ и $d_1$ найдутся два равных?
Ответ:
Решение:
Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2017}$ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) $a_1$ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) — $a_2$ камней, $\ldots$, наконец, в оставшуюся коробку — $a_{2017}$ камней. Пашина цель — добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя — за меньшее ненулевое число ходов?
Ответ:
Решение:
На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.
Ответ:
Решение:
Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?
Ответ:
Решение:
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения $a^3$, $b^3$ и $c^3$?
Ответ:
Решение:
В карточной игре каждой карте сопоставлено числовое значение от 1 до 100, причём каждая карта бьёт меньшую, за одним исключением: 1 бьёт 100. Игрок знает, что перед ним лежат рубашками вверх 100 карт с различными значениями. Крупье, знающий порядок этих карт, может про любую пару карт сообщить игроку, какая из них какую бьёт. Докажите, что крупье может сделать сто таких сообщений, чтобы после этого игрок смог точно узнать значение каждой карты.
Ответ:
Решение:
В математическом кружке занимаются 24 школьника. Каждую команду, состоящую из 6 школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на 4 команды по 6 человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников на 4 команды сыгранными оказываются либо ровно три команды, либо ровно одна, причём и тот, и другой варианты присутствуют?
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a\geqslant 2b$. Существует ли многочлен $P(x)$ степени больше 0 с коэффициентами из множества $\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ такой, что $P(a)$ делится на $P(b)$?
Ответ:
Решение:
Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога — отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки — зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше предыдущей. Кузнечик хочет пропрыгать вперёд по дороге по этим дощечкам, наступив на каждую зелёную дощечку хотя бы один раз и не наступив ни на одну красную дощечку (или границу между соседними дощечками). Докажите, что кузнечик может сделать это так, чтобы среди длин его прыжков встретилось не более 8 различных значений.
Ответ:
Решение: