Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $a$, точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $E$ лежит на ребре $CD$ и $EC:ED=1:2$, точка $F$ — центр грани $ABC$. Найти угол между прямыми $BC$ и $KE$, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $E$ и $F$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной пирамиды $ABCD$ равна $4\sqrt{3}$, $\angle DAB=\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{37}{3}}$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины ребер $AD$, $BD$, $CD$ соответственно. Найти:
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ребро основания $ABCD$ равно 1, а боковое ребро равно $\sqrt{\dfrac32}$. На ребре $SB$ выбрана точка $K$ так, что $BK=3KS$. Сфера $\omega$ с центром на отрезке $DK$ проходит через точки $S$ и $C$. Найти, в каком отношении центр сферы $\omega$ делит отрезок $DK$, радиус сферы $\omega$ и длину отрезка, который $\omega$ отсекает от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Грани $ABC$ и $ABD$ пирамиды $ABCD$ ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием $AB$. Известно, что $AB=1$, $CD=2$. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD$, расстояние между прямыми $AC$ и $BD$ и радиус сферы, описанной вокруг пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
На уроке рисования учитель сложил из нескольких одинаковых кубиков фигуру, а Петров и Васечкин нарисовали её с двух различных точек зрения (см. рисунок). Из скольких кубиков могла состоять эта фигура? (В ответе укажите произведение наибольшего и наименьшего возможного значения.)
Ответ:
Решение:
Зимой в городе выпало такое количество снега, что при расчистке улиц его некуда было складывать, поэтому коммунальная служба города организовала временные пункты плавления снега на прямоугольной площадке размером $4$ м длиной и $2$ м шириной. Ограждений по краям нет. Чтобы снег не осыпался за границы, угол наклона его поверхности к земле со всех сторон не должен превышать $\alpha$, где $\operatorname{tg}\alpha=3$. Снег насыпан так, что занимает максимально возможный объём при соблюдении этого условия. И при этом объем талой воды не превышает максимально возможный объем водоотвода.
Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины.
Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины.
- Верхний слой (от $2H/3$ до $H$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.3$ м$^3$ воды.
- Средний слой (от $H/3$ до $2H/3$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.6$ м$^3$ воды.
- Нижний слой (от $0$ до $H/3$ метра высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.9$ м$^3$ воды.
Ответ:
Решение:
На плоской горизонтальной площадке стоят $5$ прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов $\alpha$ или $\beta$ к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые $4$ из этих прожекторов можно повернуть так, что все $4$ испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все $5$ прожекторов, чтобы все $5$ лучей пересеклись в одной точке?
Ответ:
Решение:
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?
Ответ:
Решение:
На ребре $CC_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ выбрана точка $M$ так, что центр сферы, описанной около пирамиды $MAA_1B_1B$, лежит в грани $AA_1B_1B$. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды $MABC$, равен $5$, а ребро основания призмы равно $4\sqrt{3}$. Найдите:
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.
Ответ:
Решение:
На ребре $BB_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $T$ такая, что $BT:B_1T=2:5$. Точка $T$ является вершиной прямого кругового конуса, такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.
Ответ:
Решение:
На ребре $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ отмечена точка $K$ такая, что $AK:KS=1:4$. Точка $K$ является вершиной прямого кругового конуса, на окружности основания которого лежат три вершины пирамиды $SABCD$.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.
Ответ:
Решение:
Даны правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ и конус, вершина которого лежит в точке $A$, а окружность основания проходит через точки $B_1$ и $C_1$. Известно, что точки $B$ и $C$ лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если $AB=1$, $AB_1=5$. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим всевозможные тетраэдры $ABCD$, в которых $AB=2$, $AC=CB=5$, $AD=DB=6$. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро $CD$ было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина $CD$ в таком тетраэдре?
Ответ:
Решение:
Плоскости $P$ и $Q$, параллельные основанию правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, пересекают ребро $SA$ пирамиды в точках $M$ и $N$. Длины отрезков $SM$, $SN$ и $SA$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем $q=3$. Найти двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что в усеченную пирамиду с плоскостями оснований $P$ и $Q$ можно вписать шар.
Ответ:
Решение:
Из шара какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 16 и боковым ребром 15?
Ответ:
Решение:
В прямой круговой конус, радиус основания которого равен $2$, вписан шар. Найдите объём этого шара, если он в три раза меньше объёма конуса.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине в осевом сечении конуса равен $60^\circ$. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Ответ:
Решение:
В сферу радиуса $\sqrt{3}$ вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде длины перпендикуляров, опущенных из четырёх вершин на противоположные грани, равны 3, 4, 7 и $84/37$ соответственно. Найдите радиус вписанного в эту пирамиду шара.
Ответ:
Решение: