Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на 3, полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Каждый из четырёх корней этих двух уравнений увеличили на 1. Найдите произведение полученных четырёх чисел. (Сами числа $b$ и $c$ не даны.)
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных числа. Для каждой пары из чисел $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1$, $f_2$, $f_3$. Найдите сумму $S=a^2+b^2+c^2$, если наименьшее значение трёхчлена $f=f_1+f_2+f_3$ равно $-1$, а $f(0)=11$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)
Ответ:
Решение:
Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $5$, полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Какое наименьшее значение может принимать произведение всех четырёх корней этих уравнений?
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных ненулевых числа. Для каждой пары из чисел $0$, $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1, f_2, \ldots, f_6$. Пусть $f=f_1+f_2+\ldots+f_6$. Найдите сумму $S=a^2+b^2+c^2$, если $f(0)=11$, а $f(1)=-1$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)
Ответ:
Решение:
Попарно различные натуральные числа $m$, $n$, $k$ таковы, что \[ m+n+k=301. \] Найдите наибольшее возможное значение суммы корней уравнения $2x^2+(m+k)n=(m+2n+k)x$.
Ответ:
Решение:
Свободный член квадратного трёхчлена увеличили на $3$, в результате чего квадрат разности его корней уменьшился на $2$. Затем к свободному члену полученного трёхчлена прибавили число $d$, и квадрат разности его корней уменьшился ещё на $4$. Найдите $d$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трёхчленов вида \[x^2+ax+b\] с целыми корнями, у которых $a+b=19$.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^3+7x^2-42x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Ответ:
Решение:
Уравнение $25x^3-120x^2+156x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-ax-3$, $f_2(x)=x^2+2x-b$, $f_3(x)=3x^2+(2-2a)x-6-b$ и $f_4(x)=3x^2+(4-a)x-3-2b$. Пусть разности корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что $|C|\ne|D|$. Найдите отношение $\frac{A^2-B^2}{C^2-D^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-ax+2$, $f_2(x)=x^2+3x+b$, $f_3(x)=3x^2+(3-2a)x+4+b$ и $f_4(x)=3x^2+(6-a)x+2+2b$. Пусть разности их корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$, при этом $|A| e|B|$. Найдите отношение $\dfrac{C^2-D^2}{A^2-B^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-2ax+3$, $f_2(x)=x^2+x+b$, $f_3(x)=3x^2+(1-4a)x+6+b$ и $f_4(x)=3x^2+(2-2a)x+3+2b$. Пусть разности корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что $|A|\neq|B|$. Найдите отношение $\dfrac{C^2-D^2}{A^2-B^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.
Ответ:
Решение:
Прямая пересекает график функции $y=x^2$ в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, а ось абсцисс — в точке с абсциссой $x_3$. Какое наибольшее целое значение может принимать $x_3$, если выполняется равенство $x_1\cdot x_2=573$?
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+2=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^3+\dfrac{14}{x_2^2}=x_2^3+\dfrac{14}{x_1^2}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+5=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^2+\dfrac{250}{19x_2^3}=x_2^2+\dfrac{250}{19x_1^3}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — различные натуральные числа с суммой 1330. Найдите максимально возможное значение суммы корней уравнения $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$.
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — различные натуральные числа с суммой 1060. Найдите максимально возможное значение суммы корней уравнения $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму действительных корней всех квадратных трёхчленов вида $y=x^2+px+122$, где $p$ принимает все целые значения от $-35$ до $17$.
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения $\dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}$, где $p$ и $q$ — соответственно наибольший и наименьший корни уравнения $x^3-8x^2+8x=1$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму действительных корней всех квадратных трёхчленов вида $y=x^2+px+82$, где $p$ принимает все целые значения от $-11$ до $31$.
Ответ:
Решение: