Натуральное число $N$ имеет 198 различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$), а количество различных натуральных делителей числа $13N$ (включая единицу и само число $13N$) равно 264. Определите минимально возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел имеет ровно $6$ делителей. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.
Ответ:
Решение:
Найти девять натуральных чисел, кратных шести, среди которых ни одно число не кратно другому, но куб каждого числа кратен квадрату любого из них.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n\geqslant2024$ имеет простой делитель $p\gt 3$ и другой делитель $q$, связанный с $p$ соотношением $(p-1)(q+3)=n-3$. Найдите наименьшее возможное при этих условиях число $n$.
Ответ:
Решение:
Грабитель узнал, что код замка — четырехзначное число, содержащее в своей записи единицу, семерку и две пятерки. Ему не было известно, что замок открывается, если сумма всех положительных делителей кода достигает своего наибольшего возможного значения. Найти код, открывающий замок.
Ответ:
Решение:
На листе бумаги Ваня написал простое число $p$. Прибавив к $p$ его последнюю цифру, увеличенную на $1$, Петя получил новое число $q$. Известно, что если оно окажется простым, Петя получит приз и сможет повторить описанную процедуру еще раз и, возможно, снова получит приз и т. д. Какое наименьшее трехзначное простое число должен написать Ваня, чтобы Петя смог получить максимальное число призов.
Ответ:
Решение:
а) Найдите количество натуральных делителей числа $N=1\underbrace{00\ldots0}_{40}$, не являющихся ни точными квадратами (т. е. квадратами натуральных чисел), ни точными кубами;
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
Про натуральные числа $m$ и $n$ известно, что $3n^3=5m^2$. Найдите наименьшее возможное значение $m+n$.
Ответ:
Решение:
Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, которые делятся на $2012$ и имеют, не считая единицы и самого этого числа, ровно $2199$ различных делителей.
Ответ:
Решение:
Даны $n$ различных составных натуральных чисел $a_1,\ldots,a_n$, принадлежащих интервалу $(1;2013)$. Известно, что для любых двух различных чисел $a_i$, $a_j$ из этого набора выполнено условие $\text{НОД}(a_i,a_j)=1$.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.
Ответ:
Решение:
Число $2015$ можно представить в виде суммы последовательных целых чисел различным образом, например $2015=1007+1008$ или $2015=401+402+403+404+405$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Даны $2015$ попарно взаимно простых натуральных чисел, не превосходящих $10^7$. Могут ли они все быть составными?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, для которых выполнено равенство \[ p^q-q^p+3=2^{p-1}. \]
Напоминаем, что «простыми» называют натуральные числа, отличные от $1$, которые делятся только на $1$ и на само себя.
Ответ:
Решение:
Докажите, что число $2^{2014}+1$ можно представить в виде произведения трёх натуральных чисел, больших $1$.
Ответ:
Решение:
Для каждого простого $p$ найдите наибольшую натуральную степень числа $p!$, на которую делится число $(p^2)!$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, обладающие следующим свойством: $7p+1$ делится на $q$, а $7q+1$ делится на $p$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\dfrac{a}{x}$, что в первой координатной четверти ($x\gt 0$, $y\gt 0$) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Ответ:
Решение:
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4$, $\ldots$, $\ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Ответ:
Решение: