Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $445000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $445$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $333300$ и таких, что $k^2-2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее значение может принимать сумма $20$ различных натуральных чисел таких, что
- ни одно из которых не делится ни на $2$, ни на $3$, ни на $5$, ни на $7$,
- сумма любых двух чисел делится на $2$,
- сумма любых трёх чисел делится на $3$,
- сумма любых пяти чисел делится на $5$,
- сумма любых семи чисел делится на $7$?
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(a;b)$ таких, что сумма $a+b$ чётна, удовлетворяют равенству \[ (a+1)a+7b=1\,000\,001? \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x, y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[4]{10^x}+x^2+x+5y=10^{2101}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x,y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[3]{10^x}+x^3+3x^2+x+5y=10^{1001}. \]
Ответ:
Решение:
Рассматривается множество $M$ целых чисел $n\in[-20;100]$, для которых выражение \[ A=n^3+n^2-14n-24 \] делится на $7$. Сколько целых чисел содержится в $M$? Найти наибольшее и наименьшее из них.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $m$ и $n$, $m\neq n$, таковы, что число $2013^m$ имеет такие же две последние цифры, как и $2013^n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.
Ответ:
Решение:
Число $n+2015$ делится на $2016$, а число $n+2016$ делится на $2015$. Найдите наименьшее натуральное $n$, при котором это возможно.
Ответ:
Решение:
Таня задумала две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{793a}$ и $\overline{1b09}$ при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Толя задумал две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{180a}$ и $\overline{4b78}$ при делении на $11$ дает в остатке $1$. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Существует ли такой квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ с целыми коэффициентами и $a$, не кратным $2014$, что все числа $f(1)$, $f(2)$, …, $f(2014)$ имеют различные остатки при делении на $2014$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если её впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7.
Ответ:
Решение:
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Ответ:
Решение:
а) Имеют ли общие члены две последовательности: $3;\ 16;\ 29;\ 42;\ \ldots$ и $2;\ 19;\ 36;\ 53;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
б) Имеют ли общие члены две последовательности: $5;\ 16;\ 27;\ 38\ \ldots$ и $8;\ 19;\ 30;\ 41;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у арифметических прогрессий $1;\ \ldots;\ 1000$ и $9;\ \ldots;\ 999$ если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.
б) Имеют ли общие члены две последовательности: $5;\ 16;\ 27;\ 38\ \ldots$ и $8;\ 19;\ 30;\ 41;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у арифметических прогрессий $1;\ \ldots;\ 1000$ и $9;\ \ldots;\ 999$ если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $m$, при котором выражение $148^n+m\cdot141^n$ делится на 2023 при любом нечетном натуральном $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее число из натуральных чисел, превосходящих 2022 и делящих нацело число $2021!!+2022!!$
Символом $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность: \[ n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots. \]
Символом $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность: \[ n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots. \]
Ответ:
Решение:
Дано число $a=2^{2002}+3^{2002}$. Найти последнюю цифру числа $a$ и остаток от деления числа $a$ на 11.
Ответ:
Решение: