Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Величины углов при вершинах в треугольнике $BDE$ образует в некотором порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $A$ в треугольнике $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$, $M$ — точка пересечения $BK$ и $AA_1$, $N$ — точка пересечения $BL$ и $CC_1$. Найдите отношение $MS:SN$, если $S$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $MN$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.
Ответ:
Решение:
От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на 1 см меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в см) и образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Внутри четырёхугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ — биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$, проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла $B$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Проведены высота $AH$ и медиана $CM$. Обозначим точку их пересечения через $P$. Высота, проведённая из вершины $B$ треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки $H$ на прямую $CM$, в точке $Q$. Докажите, что прямые $CQ$ и $BP$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.
Ответ:
Решение:
Стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках $A_1$, $B_1$. Пусть $A_2$, $B_2$ — ортоцентры треугольников $CAA_1$ и $CBB_1$. Докажите, что прямая $A_2B_2$ перпендикулярна биссектрисе угла $C$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника $ABC$ с описанной вокруг $ABC$ окружностью. Окружность, вписанная в треугольник $A_1B_1C_1$, касается одной из сторон $ABC$, а один из углов треугольника $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите два других угла треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $LOM$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $Q$. Площади треугольников $LQH$ и $OQH$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $MQH$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, $\angle A=2\alpha$, биссектрисы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $I$. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника $DEI$, если сумма длин отрезков $DI$ и $EI$ равна $2d$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проходящая через точки, симметричные основанию высоты $AD$ остроугольного треугольника $ABC$ относительно сторон $AC$ и $AB$, пересекает эти стороны в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите расстояние от точки $B$ до точки пересечения отрезков $BE$ и $CF$, если $AC=b$ и $\angle ABC=\beta$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ со стороной $AC=1$ провели высоту $BH$, в треугольнике $BHC$ — биссектрису $CL$, в треугольнике $BLC$ — медиану $BM$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, причём $\angle BHK=\angle MHC=15^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника $KLHM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $P$ и $Q$ — середины биссектрис, проведённых из вершин $A$ и $B$. Вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке $H$. Найдите угол $PHQ$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если угол $BAC$ равен $100^\circ$, то $AP+PB=BC$.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $75^\circ$. На высоте $BH$ выбрана точка $D$ так, что угол $ADC$ равен $105^\circ$. Отношение $AD:BC=1:\sqrt{3}$. Найдите угол при вершине $C$ треугольника.
Ответ:
Решение:
$AM$ и $BN$ — биссектрисы треугольника $ABC$. На прямой $MN$ расположена точка $P$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $4$ и $1$ соответственно. Найти расстояние от точки $P$ до прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
$CH$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, вписанного в окружность с центром $O$, а $AC\gt BC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $AOC$ равна $10$, а площадь треугольника $AOH$ равна $12$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$, которые пересекаются в точке $H$. Вокруг треугольника $DHE$ описана окружность $\omega$. Касательные к $\omega$ в точках $D$ и $E$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если радиус $\omega$ равен $10$ и $\angle ABC=60^\circ$.
Ответ:
Решение: