Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \sin y+\cos x=\sin 3x\quad\text{и}\quad \sin 2y-\sin 2x=\cos 4x-\cos 2x. \] Какое наименьшее значение может принимать сумма $\cos y+\sin x$?
Ответ:
Решение:
Каждое из четырех чисел $\frac12$; $\frac12$; $\frac32$; $2$ является результатом одной из четырех арифметических операций $\sin x+\sin y$, $\sin x-\sin y$, $\sin x\cdot\sin y$, $\sin x:\sin y$ над числами $\sin x$, $\sin y$ для некоторых $x$ и $y$. Найти все допустимые для этого пары $(x;y)$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ точка с координатами $(\sin a;\sin 3a)$ симметрична точке с координатами $(\cos a;\cos 3a)$ относительно прямой с уравнением $x+y=0$?
Ответ:
Решение:
Координаты $(x;y)$ точек в квадрате $\{(x;y)\colon 0\leqslant x\leqslant2\pi,\ 0\leqslant y\leqslant2\pi\}$ удовлетворяют системе уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sin y=\sin1,\\ \cos x+\cos y=\cos1. \end{cases} \] Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.
Ответ:
Решение:
Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями \[ \dfrac{\sin x}{1+\sin y-\sin x}=\dfrac{\sin y}{1+\sin x-\sin y}=\dfrac{1}{\sin x+\sin y-1}. \] Найдите наименьшее возможное значение величины $\sin^2x-\frac16\cos2y$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sqrt{2}\cos y=\dfrac{3}{2},\\ \sqrt{2}\sin y+\sqrt{3}\cos x=\dfrac{5}{2}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение выражения $\cos(x+y+z)$, если числа $x$, $y$, $z$ являются решениями системы \[ \begin{cases} \sqrt{\frac59+\cos x}=\frac34\sin z+\frac23\operatorname{ctg} z,\\ \sqrt{\frac59+\cos y}=\frac34\sin x+\frac23\operatorname{ctg} x,\\ \sqrt{\frac59+\cos z}=\frac34\sin y+\frac23\operatorname{ctg} y. \end{cases} \] Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
Дана система уравнений \[ \begin{cases} \sin(x+y)=9\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right),\\ \cos(x+2y)-\sqrt3\sin(x+2y)=-16\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right). \end{cases} \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y$, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух.
Ответ:
Решение:
Приведите пример числа $x$, для которого выполняется равенство \[\sin2017x-\operatorname{tg}2016x=\cos2015x.\] Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим уравнение $\sin^3 x+\cos^3 x=-1$. Сколько у него решений на промежутке $[0, 6\pi]$?
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases}\sin x\cos y=\sin z,\\ \cos x\sin y=\cos z,\end{cases}\] если числа $x$, $y$ и $z$ лежат на отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Верно ли, что при любых ненулевых целых числах $a$ и $b$ система \[ \begin{cases} \operatorname{tg}(13x)\operatorname{tg}(ay)=1,\\ \operatorname{tg}(21x)\operatorname{tg}(by)=1 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение?
Ответ:
Решение:
Пусть $k_1$ — наименьшее натуральное число, являющееся корнем уравнения \[\sin k^\circ=\sin 334k^\circ.\]
1. Найдите $k_1$.
2. Найдите наименьший корень этого же уравнения, являющийся натуральным числом, большим $k_1$.
1. Найдите $k_1$.
2. Найдите наименьший корень этого же уравнения, являющийся натуральным числом, большим $k_1$.
Ответ:
Решение: