Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь увеличится на 9280 м$^2$. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что \[(3a+2b)(3b+2a)=295.\] Найдите $a+b$.
Ответ:
Решение:
Координаты точки удовлетворяют соотношению $xy+yz+zx=4$. На каком расстоянии от плоскости $z=-3$ может лежать эта точка, если известно, что расстояние от этой точки до начала координат равно двум?
Ответ:
Решение:
Доказать, что если числа $x$, $y$ и $z$ — целые, то число\[\frac12\left((x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4\right)\]является квадратом некоторого целого числа.
Ответ:
Решение:
Про числа $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что \[ a^2+7b^2=14,\quad bc-ad=7,\quad ac+7bd=\sqrt{210}. \] Найдите наибольшее значение выражения $c^2+7d^2$.
Ответ:
Решение:
Для положительных чисел $x$ и $y$ с суммой $7$ Петя выписал на доску числа \[\dfrac{x^2+y^2}{x+y},\quad\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},\quad\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}.\] Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Какое наибольшее значение может принимать сумма $x^2+y^2$?
Ответ:
Решение:
Пусть для некоторых чисел $x$, $y$, $z$ выполняется равенство \[ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}=1{,}5. \] Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}$.
Ответ:
Решение:
Известно, что одним из корней уравнения \[ x^2-4a^2b^2x=4 \] является $x_1=(a^2+b^2)^2$. Найдите $a^4-b^4$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=2{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите десятичную запись числа \[ \frac{(2x-x^2)\cdot10^6}{33}+\left(\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}\right), \] если $x=0{,}9999$.
Ответ:
Решение:
Можно ли представить выражение \[ \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-(ax+bz)^2-(by-cx)^2-(cz+ay)^2 \] в виде квадрата некоторого многочлена от переменных $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ с нулевой суммой таковы, что \[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$?
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения \[ K=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{xy} \] не изменяется, если $x$ уменьшить на 1, а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения $M=x^3-y^3-3xy$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=1{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Представьте в виде несократимой дроби \[ 7\frac{19}{2015}\times6\frac{19}{2016}-13\frac{1996}{2015}\times2\frac{1997}{2016}-9\times\frac{19}{2015}. \]
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $81y^3+27xy(3y+x)+(5x-y)^2-3(3y+x)^3-25x^2$. Вычислить его значение при $x=-2$ и $y=-1$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $15xy(5y-x)+(4x-2y)^2-(x-5y)^3-125y^3-16x^2$. Вычислить его значение при $x=-2$ и $y=-1$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $2ab(18b-27a+35)-(3a-2b)^3+(5a-7b)^2-49b^2+27a^3$. Вычислить его значение при $a=-\frac15$ и $b=-1$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $(3y+4x)^2-9y^2+6xy(y-2x-4)-(2x-y)^3+8x^3$. Вычислить его значение при $\displaystyle x=-\frac12$ и $y=-3$.
Ответ:
Решение: