Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ 2\sqrt{x^2+324}-f(x)\geqslant\frac{x^2+324}{f(x)-a}-a \] имеет единственное решение, если $f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$, $g(x)=19+2\cos2x+4\cos x$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} y=|a-3|x+1|+x+3|+3|x+1|,\\ 2^{2-y}\log_{\sqrt{3}}\left((x+|a+2x|)^2-6(x+1+|a+2x|)+16\right)+2^{x+|a+2x|}\log_{1/3}\left(y^2+1\right)=0,\\ x+|a+2x|\leqslant3 \end{cases} \] имеет единственное решение $(x;y)$, где $x$ и $y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a$.
Ответ:
Решение:
Для каждого допустимого $a$ найти наименьшее решение уравнения \[ 2\log_a^2 x+\log_a x^3-3=\log_x a^2. \]
Ответ:
Решение:
При каждом значении $a$ найдите все значения $x$, удовлетворяющие уравнению \[ \log_5\left(\frac{(x+1)^2}{x}-a\right)=\log_5\frac{(x+1)^2}{x}-\log_5 a. \]
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем значении параметра $a$ каждое решение неравенства \[ \log_{x+1}(3-ax)\gt 0 \] удовлетворяет неравенству $x^2+\dfrac{2a-5}{2a}x-\dfrac{5}{2a}\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} 25^x-13\cdot5^x+a\lt 0,\\ 12\sin^4\pi x-\cos4\pi x=11 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ \frac{a^{2x}-3a^{x+1}+2a^2}{\log_2a}\geqslant0 \] (относительно неизвестной $x$) представляет собой отрезок длиной 2026?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ неравенство \[3\cdot 4^x-6a\cdot 2^x+3a^2+2a-14\lt 0\] не имеет решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых уравнение \[ \log_2^2\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)+2(a-1)\log_2\left(\dfrac{x}{1+x^2}\right)+a^2-a-2=0 \] имеет решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство \[ a\log_3 x+\log_{\frac12}x\gt 1 \] имеет решения, причём среди решений нет бо́льших 1.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2^2x+(a-6)\log_2x+9-3a=0\]имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?
Ответ:
Решение:
Найдите такое значение $a\gt 1$, при котором уравнение $a^x=\log_a x$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение \[\log_{4x}(1+ax)=\dfrac{1}{2}\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\log_7\left(7^x-\log_7 a\right)=2x\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(a,b)$, при которых множество решений неравенства \[ \log_{2014}(2x+a)\gt x^2-2x-b \] совпадает с промежутком $(1;2)$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует значений параметра $a$, при которых уравнение \[ 4a^2+3x\lg x+3\lg^2 x=13a\lg x+ax \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых графики функций \[f(x)=3^{2x^2-4x+3}+a^3\quad\text{и}\quad g(x)=a\cdot3^{x^2-2x+3}-5\] имеют ровно три общие точки.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно, пустое) решений неравенства \[ \log_2\left(x^2+4ax+4a^2-a\right)\lt 2, \] меньше 2.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 16^x-6\cdot8^x+8\cdot4^x+(2-2a)\cdot2^x-a^2+2a-1=0 \] имеет ровно три различных корня.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ a\cdot4^{\frac1x-1}+(a-1)\cdot2^{\frac1x}-a^3+3a-2=0 \] не имеет корней.
Ответ:
Решение: