Решите уравнение \[ \left(1+x+x^2\right)\left(1+x+x^2+\ldots+x^{10}\right)=\left(1+x+x^2+\ldots+x^6\right)^2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество общих точек графиков функций \[y=x^3+6x\quad\text{и}\quad y=12x^2+1,\] а также абсциссы этих точек.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(x^3+x^2+x+1\right)\left(x^{11}+x^{10}+\ldots+x+1\right)=\left(x^7+x^6+\ldots+x+1\right)^2. \]
Ответ:
Решение:
Найти $a$, $b$ и $c$, для которых $ar_n+br_{n+1}+cr_{n+2}=6$ для всех натуральных $n$, где $r_k$ — остаток от деления $k$ на $3$.
Ответ:
Решение:
Петя задумал пять чисел. На доске он написал их попарные суммы: $7$, $9$, $12$, $16$, $17$, $19$, $20$, $21$, $22$, $29$. Какие числа задумал Петя?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x-y-3xy=-1,\\ 9x^2y^2+9x^2+y^2-6xy=13. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют системе уравнений \[\begin{cases} xy=3z+z^2,\\ yz=3x+x^2,\\ zx=3y+y^2.\end{cases}\] Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2+(y+3)^2+(z+3)^2$, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{xy}{x+y}=1,\\[2mm] \dfrac{yz}{y+z}=2,\\[2mm] \dfrac{xz}{x+z}=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите в действительных числах систему уравнений \[ \begin{cases} x+y+2-4xy=0,\\ y+z+2-4yz=0,\\ z+x+2-4zx=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти действительные решения системы уравнений \[ \begin{cases} x^2-4x-2y-1=0,\\ y^2-2x+6y+14=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}xy+\dfrac{y^4}{x}=\dfrac{x^2}{y}+y^2,\\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}x^5+4x^4+5y^2=0,\\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}=xy-y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 1+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{x-y}{x^2y^2}+\dfrac{xy}{x-y},\\ \dfrac{x-y}{xy}\sqrt{x-y}=2-xy.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac{1}{y+z}=-\dfrac{2}{15},\\ \dfrac1y+\dfrac{1}{x+z}=-\dfrac23,\\ \dfrac1z+\dfrac{1}{x+y}=-\dfrac14. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} 3x\geqslant2y+16,\\ x^4+2x^2y^2+y^4+25-26x^2-26y^2=72xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac{1}{y+z}=\dfrac{1}{12},\\ \dfrac1y+\dfrac{1}{x+z}=\dfrac16,\\ \dfrac1z+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac12. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} 2x+y+8\leqslant 0,\\ x^4+2x^2y^2+y^4+9-10x^2-10y^2=8xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y-xy^2-3x+3y+1=0,\\ x^3y-xy^3-3x^2+3y^2+3=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: