Докажите, что для любых трех положительных вещественных чисел $x$, $y$, $z$ выполнено неравенство \[ (x-y)\sqrt{3x^2+y^2}+(y-z)\sqrt{3y^2+z^2}+(z-x)\sqrt{3z^2+x^2}\geqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Даны неотрицательные числа $a$, $b$, $c$, $d$ такие, что $a+b+c+d=8$. Докажите, что \[ \frac{a^3}{a^2+b+c}+\frac{b^3}{b^2+c+d}+\frac{c^3}{c^2+d+a}+\frac{d^3}{d^2+a+b}\geqslant4. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых положительных $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_9$ верно неравенство \[\frac{x_1-x_3}{x_1x_3+2x_2x_3+x_2^2}+\frac{x_2-x_4}{x_2x_4+2x_3x_4+x_3^2}+\ldots+\frac{x_8-x_1}{x_8x_1+2x_9x_1+x_9^2}+\frac{x_9-x_2}{x_9x_2+2x_1x_2+x_1^2}\geqslant0.\]
Ответ:
Решение:
Даны числа $a$, $b$, $c$, не меньшие 1. Докажите, что \[ \frac{a+b+c}{4}\geqslant\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $x^2+y^2+z^2=1$. Докажите, что \[(x-y)(y-z)(x-z)\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}.\]
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $\ldots$, $a_{25}$ — целые неотрицательные числа, а $k$ — наименьшее из них. Докажите, что \[ [\sqrt{a_1}\,]+[\sqrt{a_2}\,]+\ldots+[\sqrt{a_{25}}\,]\geqslant\left[\sqrt{a_1+\ldots+a_{25}+200k}\,\right]. \] (Как обычно, через $[x]$ обозначается целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, где $n\geqslant 2$. Докажите, что \[ \frac{1+x_1^2}{1+x_1x_2}+\frac{1+x_2^2}{1+x_2x_3}+\ldots+\frac{1+x_{n-1}^2}{1+x_{n-1}x_n}+\frac{1+x_n^2}{1+x_nx_1}\geqslant n. \]
Ответ:
Решение:
На доске выписаны в ряд $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Вася хочет выписать под каждым числом $a_i$ число $b_i\geqslant a_i$ так, чтобы для любых двух из чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство $b_1b_2\ldots b_n\leqslant2^{(n-1)/2}a_1a_2\ldots a_n$.
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\leqslant\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}.\]
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\leqslant\frac{1}{a^3b^3c^3d^3}.\]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ x\gt y^2+z^2,\quad y\gt z^2+x^2,\quad z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $1/2$.
Ответ:
Решение:
На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.
Ответ:
Решение:
Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2b+b^2c+c^2a=2\quad\text{и}\quad ab^2+bc^2+ca^2=4. \] Докажите, что из чисел $a$, $b$, $c$ какие-то два отличаются более чем на 2.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что $(2+a)(2+b)\geqslant cd$.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют соотношению $ab+bc+ca=1$. Докажите, что \[ \sqrt{a+\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c+\dfrac{1}{c}}\geqslant 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right). \]
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению \[abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0.\] Докажите, что \[\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1}\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[(a+b+2c)^2\gt d,\quad (b+c+2d)^2\gt a,\quad (c+d+2a)^2\gt b,\quad (d+a+2b)^2\gt c.\] Докажите, что $a+b+c+d\gt 1/4$.
Ответ:
Решение: