Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, один из которых равен 16. Найдите длину второго отрезка, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, где $BA=5$, $BC=8$. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны $BC$ в точке $P$. Известно, что $BP=3$. Найдите площадь треугольника $BMP$, где $M$ — точка касания окружности со стороной $AC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся его сторон в точках $P$, $Q$ и $R$. Найдите площадь треугольника $PQR$, если длины катетов треугольника $ABC$ равны 3 и 4.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике с основанием 34 и боковой стороной 49 проведена средняя линия, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри вписанной в треугольник окружности.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны соответственно $33$ и $11$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ радиуса $4$ с центром $O$ вписана в остроугольный треугольник $EFQ$ и касается его сторон $FQ$ и $EQ$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{65}/2$ с центром $T$ описана около треугольника $PQM$.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.
Ответ:
Решение:
Пусть $AC$ — наибольшая сторона треугольника $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны точки $K$ и $M$ так, что $AM=AB$ и $CK=CB$. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBM$, равен 10, радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен 9, и эта окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. Найдите квадрат длины отрезка $BT$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC=60^\circ$. Продолжение биссектрисы $AA_1$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $A_2$. Найдите площади треугольников $OA_2C$ и $A_1A_2C$ ($O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$).
Ответ:
Решение:
Пусть $AC$ — наибольшая сторона треугольника $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны точки $K$ и $M$ так, что $AM=AB$ и $CK=CB$. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBM$, равен 13, радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен 11, и эта окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. Найдите квадрат длины отрезка $BT$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $PQR$, касается его сторон $PQ$, $QR$ и $RP$ в точках $C$, $A$ и $B$ соответственно. Прямые $BO$ и $CO$ пересекают стороны $PQ$ и $PR$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Найдите отношение $QA:AR$, если $KQ=3$, $QR=16$, $LR=1$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) вписана окружность $\Gamma$ с центром $I$, которая касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $I$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите радиус окружности $\Gamma$, если $MK=144$, $NL=25$. Найдите $AC$, если дополнительно известно, что прямая $MN$ параллельна $AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $B$ проведена высота $CH$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Площадь треугольника $AHM$ равна $90$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{18}{5}$. Площадь треугольника $BHN$ равна $420$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{42}{5}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ лежит на стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$, и при этом $\angle CED=90^\circ$. Точки $O$, $P$, $Q$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ADE$, $BCE$, $CDE$ соответственно. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$, если $OQ=20$, $OP=29$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BO$ за точку $O$ пересекает описанную вокруг треугольника $ABC$ окружность в точке $D$. Найдите угол $B$, если $OD=4AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $20$, проведена медиана $CD$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что $AC=\sqrt{41}$, а центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$, лежит на окружности, описанной около треугольника $BCD$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом 6, а точка $C$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $O$. Другая окружность с центром $Q$ и радиусом 8 описана около треугольника $ACO$. Найдите $BQ$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $OBC$ в точках $O$ и $M$. Найдите длину секущей $OM$, если $BC=6$, $AB:AC=3:1$, и $\angle BAC=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 2 проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$, через середину стороны $AB$ и через середину отрезка $BP$, где $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и серединного перпендикуляра к стороне $AC$. Найдите длину $AC$, если известно, что $PC=2\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$, к которой проведена касательная, пересекающая стороны $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если $\angle MON=26^\circ$.
Ответ:
Решение:
Радиус вписанной в треугольник окружности равен $1$, а длины высот выражаются натуральными числами. Найдите стороны треугольника.
Ответ:
Решение: