На окружности последовательно в указанном порядке расположены четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ (хорды $AC$ и $BD$ пересекаются). Точки $P$, $S$, $T$ — середины хорд $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно, $\angle BPS=20^\circ$. Найти величину $\angle STD$ в градусах.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt2+1}}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=22{,}5^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3+1}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=15^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ угол $ADC$ равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{24}}{5}$. Окружность $\Omega$, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $AN=11$, $BL=6$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ и радиус окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Отрезок $BD$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$. Окружность радиуса $4$ проходит через точки $A$, $B$ и $D$ и пересекает сторону $BC$ в точке $E$ такой, что $BE:BC=7:8$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=6$ и $AD=7$ вписана в окружность. Продолжение средней линии $MN$ трапеции за точку $M$ пересекает окружность в точке $K$. Найдите квадрат высоты трапеции, если $MK=1$.
Ответ:
Решение:
Даны равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) с углом $ACB=41^\circ$ и точка $M$ такая, что отрезки $AM$ и $BC$ пересекаются, а $\angle AMB=15^\circ$, $\angle AMC=49^\circ$. Найдите $\angle MAC$.
Ответ:
Решение:
Равнобокая трапеция $ABCD$ вписана в окружность $\Omega$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, $K$ — точка на окружности такая, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции $AD$ и $BC$. Найдите радиус окружности $\Omega$, если $BC=13$, $AD=17$, $MK=4$. В ответ запишите квадрат радиуса.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $K$ и $P$ треугольника $KPM$ и пересекает его стороны $KM$ и $PM$ в точках $F$ и $B$ соответственно, причём $KF:FM=3:1$, $PB:BM=6:5$. Найдите $KP$, если $BF=\sqrt{15}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ в два раза больше угла при вершине $C$. Через вершину $B$ проведена касательная $\ell$ к окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Расстояния от точек $A$ и $C$ до этой касательной равны соответственно $4$ и $9$.
а) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.
б) Найдите радиус окружности $\Omega$ и длину стороны $AB$.
а) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.
б) Найдите радиус окружности $\Omega$ и длину стороны $AB$.
Ответ:
Решение:
Продолжение высоты $BH$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$ (точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$). Градусные меры дуг $AD$ и $CD$, не содержащих точки $B$, равны $60^\circ$ и $90^\circ$ соответственно. Определите, в каком отношении отрезок $BD$ делится стороной $AC$.
Ответ:
Решение:
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AP$ в точке $E$ и отрезок $CQ$ — в точке $F$. Найдите длину $AE$, если $QF=6$, $PE=7$, $CF=9$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность $\Omega$ с диаметром $5$ описана вокруг треугольника $ABM$, где $M$ — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч $CB$ и отрезок $AD$ в точках $E$ и $K$ соответственно. Длина дуги $AE$ в два раза больше длины дуги $BM$ (дуги $AE$ и $BM$ не имеют общих точек). Длина отрезка $MK$ равна $3$. Найдите длины отрезков $BC$, $BK$ и периметр треугольника $EBM$.
Ответ:
Решение:
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AP$ в точке $E$ и отрезок $CQ$ — в точке $F$. Найдите отношение $AE:CF$, если $QF=4$, $PE=5$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности центром $O$ имеют длину 10. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$, причем $DP=3$. Прямая $PO$ пересекают отрезок $AC$ в точке $L$. Найдите отношение $AL:LC$.
Ответ:
Решение:
Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BD$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $T$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $CD$ соответственно. Известно, что $PM\parallel TN$.
а) Найдите угол $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $MP=\frac12$, $NT=\frac52$, $BD=2$. Найдите площадь треугольника.
а) Найдите угол $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $MP=\frac12$, $NT=\frac52$, $BD=2$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\Omega$. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, $CF$ — биссектриса угла $C$ треугольника $ABC$. Прямые $ED$ и $CF$ пересекаются в точке $G$, принадлежащей $\Omega$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $BCF$ в $16$ раз больше площади треугольника $DGF$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle A=90^\circ$) с катетами $51$ и $70$ вписан в окружность $\Gamma$. Пусть $E$ и $F$ — середины меньших дуг $AB$ и $AC$ описанной окружности. Вычислите длину части отрезка $EF$, попавшей внутрь треугольника $ABC$. Ответ округлите до сотых.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$ и через его точку пересечения биссектрис $I$, причём прямая $AI$ касается этой окружности. Пусть $X$ и $Y$ — точки пересечения сторон $AB$ и $BC$ соответственно с этой окружностью, а $Z$ есть точка пересечения стороны $AC$ с прямой $IY$. Найдите $BY$, если $XI=3{,}5$; $AZ=5$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) описана окружность $\Omega$. Прямая, содержащая биссектрису $AD$ треугольника $ABC$, пересекает повторно $\Omega$ в точке $E$. Найдите периметр четырёхугольника $ABEC$, если известно что площади треугольников $BED$ и $CED$ равны 5 и 6 соответственно.
Ответ:
Решение: