Окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов $5$ и $3$ соответственно касаются друг друга внутренним образом в точке $T$. Прямая $\ell$ пересекает окружность $\omega$ в точках $B$ и $C$, а окружность $\Omega$ — в точках $A$ и $D$, причём $B$ лежит между $A$ и $C$, $C$ лежит между $B$ и $D$, а центры окружностей лежат по одну сторону от $\ell$. Известно, что $AB:BC:CD=1:4:7$. Найдите $AC^2$. При необходимости округлите ответ до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $CB$ и $CA$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $MN$, пересекает окружность в двух точках, из которых точка $P$ — ближайшая к точке $B$. Найдите $PM$, если известно, что $BP=17$ и $MN=153$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точке $T$. Прямая $\ell$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $B$, а окружность $\Omega$ — в точках $C$ и $D$, причём $B$ лежит между $A$ и $C$, $C$ лежит между $B$ и $D$, а центры окружностей лежат по одну сторону от $\ell$. Известно, что $AB:BC:CD=4:1:6$. Найдите $BC^2$. При необходимости округлите ответ до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, диаметр $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC=1$ и $BC=16$. Найдите длину общей касательной к окружностям $\omega$ и $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, а их общая касательная имеет с $\omega_1$ и $\omega_2$ общие точки $C$ и $D$ соответственно, причём точка $B$ расположена ближе к прямой $CD$, чем точка $A$. Луч $CB$ пересекает $\omega_2$ в точках $B$ и $E$. Найдите отношение $ED:CD$, если диагональ $AD$ четырёхугольника $ACDE$ делит отрезок $CE$ в отношении $2:5$, считая от вершины $C$.
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольника $PQST$ расположены окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга в точке $C$. Известно, что окружность $\Omega$ касается сторон $PQ$, $PT$, $ST$, а окружность $\omega$ — сторон $PQ$ и $QS$; кроме того, прямая $CS$ является общей касательной к окружностям. Найдите радиус $R$ окружности $\Omega$, если известно, что радиус окружности $\omega$ есть $r=3$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ имеют радиусы $5$ и $8$, а расстояние между их центрами больше $13$. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.
Ответ:
Решение:
Центр окружности $\omega$ радиуса $R$ расположен на гипотенузе $AC$ треугольника $ABC$. Известно, что $\omega$ пересекает $AC$ в точках $P$ и $E$ ($P$ лежит между $A$ и $E$) и касается обоих катетов треугольника $ABC$. Найдите $CE$, если $AP=4$, а радиус окружности $\omega$ равен $10{,}5$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее число окружностей радиуса 1, не имеющих общих точек, которые могут одновременно касаться окружности радиуса 3.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Отрезок $AB$ является диаметром первой окружности, а отрезок $BC$ — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает первую окружность в точке $D$ и касается второй окружности в точке $E$, при этом $BD=9$ и $BE=12$. Найдите радиусы окружностей.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$. Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности в точке $L$, делящей хорду в отношении $AL:BL=2:3$. Найдите $AK$, если $BK=12$.
Ответ:
Решение:
Две окружности радиусов $R$ и $R'$ касаются друг друга внешним образом в точке $P$ и касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $Q$ — точка пересечения прямой $BP$ с первой окружностью. Определить, на каком расстоянии от прямой $l$ расположена точка $Q$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC=a$ и высотой $AH=h$ описана окружность $\omega_1$. В угол $BAC$ вписана окружность $\omega_2$, касающаяся окружности $\omega_1$ изнутри и касающаяся сторон угла в точках $P$ и $Q$. Определите, в каком отношении отрезок $PQ$ делит высоту $AH$.
Ответ:
Решение:
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен $2/\sqrt5$. Через середины одного катета и гипотенузы провели окружность, касающуюся другого катета. Найдите отношение части гипотенузы, лежащей внутри получившегося круга, ко всей гипотенузе.
Ответ:
Решение:
Окружность касается одной из сторон угла с вершиной $A$ в точке $B$ и пересекает вторую сторону в точках $C$ и $D$, причём $AD$ в три раза меньше $AC$. Косинус угла $A$ равен $\sqrt3/4$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ известен угол $BCD$, равный $120^\circ$. В этот угол вписана окружность радиуса 1, проходящая через точки $A$, $B$ и $D$. Найдите площадь треугольника $ABD$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $LM$ известен угол $LMN$, равный $60^\circ$. Около треугольника $KLN$ описана окружность, касающаяся прямых $LM$ и $MN$. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр треугольника $KLN$ равен 12.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.
Ответ:
Решение:
В угол $60^\circ$ вписана окружность радиуса $1$. Вторая окружность касается сторон угла и первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса $1$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $3$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.
Ответ:
Решение: