В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$, проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла $B$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$.
Ответ:
Решение:
Внутри четырёхугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ — биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на 1 см меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в см) и образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$, $M$ — точка пересечения $BK$ и $AA_1$, $N$ — точка пересечения $BL$ и $CC_1$. Найдите отношение $MS:SN$, если $S$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $MN$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.
Ответ:
Решение:
Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Величины углов при вершинах в треугольнике $BDE$ образует в некотором порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $A$ в треугольнике $ABC$.
Ответ:
Решение:
Последовательность величин сторон в остроугольном треугольнике образует арифметическую прогрессию. Пусть $M$, $I$ — точки пересечения его медиан и биссектрис, соответственно. Найдите косинус его большего угла, если длина отрезка $MI$ в 10 раз меньше одной из сторон данного треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $45^\circ$, проведена медиана $AM$. Прямая $b$ симметрична прямой $AM$ относительно высоты $BB_1$, а прямая $c$ симметрична прямой $AM$ относительно высоты $CC_1$. Прямые $b$ и $c$ пересеклись в точке $X$. Докажите, что $AX=BC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha+\beta+\gamma$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$. Три окружности с центрами в точках $D$, $E$, $F$, проходящие через $H$, пересекают прямые $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольников, образованных этими тройками точек, нашлась окружность, касающаяся всех шести прямых, содержащих стороны этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Найдите величину угла $ACB$, если известно, что $\angle ACD=72^\circ$ и $AB=BD$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, при этом $\angle AOB=75^\circ$, $AB=3$. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника $ABE$ окружностью, где $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=2$, $BC=4$, $CD=5$ вписали окружность и вокруг него описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ лежит на описанной около правильного треугольника $ABC$ окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки $M$ до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки $M$ до третьей его вершины: $AM+CM=BM$.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Длины её боковых сторон $AB$ и $CD$ равны соответственно $3$ и $5$, а длина основания $AD$ больше длины $BC$. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно $5/11$. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины её диагоналей.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, пересекаются в точке $P$. Известно, что расстояния от точки $P$ до сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ равны $4$, $\sqrt3$, $\frac{8}{\sqrt{19}}$ и $8\sqrt{\frac{3}{19}}$ соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 13 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\perp B_1D_1$, $BD\perp A_1C_1$. Найдите отношение площади $ABCD$ к площади $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=10$, $BC=24$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 10 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\parallel B_1D_1$, $BD\parallel A_1C_1$. Найдите отношение площадей $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=16$, $BC=12$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, известно, что $AB=48$, $BC=60$, $CD=24$, $AD=12$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Найдите квадрат длины отрезка $EF$.
Ответ:
Решение: