Пусть $I$ — центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ — середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $ABC$ пересекает описанную окружность $\omega$ треугольника $ABC$ в точках $B$ и $L$. Точка $M$ — середина отрезка $AC$. На дуге $ABC$ окружности $\omega$ выбрана точка $E$ так, что $EM\parallel BL$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекают прямую $EL$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PE=EQ$.
Ответ:
Решение:
Множество вертикальных и горизонтальных параллельных прямых разбивают плоскость на бесконечное число равных прямоугольников со сторонами $1$ и $\sqrt3$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения прямых. Рассмотрим множество всех равносторонних треугольников с вершиной в точке $A$ и двумя другими вершинами, расположенными в точках пересечения прямых. Какое минимальное значение может принимать площадь таких треугольников? Сколько треугольников из этого множества имеет площадь $39\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами $(3,4,5)$, $(11,10,6)$, $(5,8,9)$? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Ответ:
Решение:
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты — целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Вычислите площадь множества точек, координаты которых $(x;y)$ удовлетворяют неравенству \[ |x-1|+|x+1|+2|y|\leqslant 8. \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |3x|+|4y|+|48-3x-4y|=48, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} \sqrt{1-x}+x\geqslant0,\\ \sqrt{x}-2\leqslant y\leqslant 2-x^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ \arcsin(2x)+\arccos(2x)\geqslant\frac{\pi}{4}\cdot\left(y^2-2\right). \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь: $x^2+y^2+4(x-|y|)\leqslant 0$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} |x+2y|\lt |2x+3y|,\\ x^2-2x+4+y^2-2y\leqslant 6. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих множеству-ответу. В ответе укажите сумму всех абсцисс найденных точек, умноженную на их количество.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} x^2-2y+3+y^2+2x\lt 10,\\ |y+2x|\geqslant|3x+2y|. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих полученному множеству. В ответе укажите сумму всех ординат найденных точек, умноженную на их количество.
Ответ:
Решение:
Фигура, заданная на координатной плоскости двойным неравенством $0\leqslant x^2+y^2-4y\leqslant10$, разрезается линиями, задаваемыми уравнением $(x+2-y)\bigl(\sqrt{3}ax+y-2\bigr)=0$, на несколько частей. Найдите наибольшее число $a$, при котором площадь наименьшей части относится к площади наибольшей части как $5:7$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ \left|16+6x-x^2-y^2\right|+|6x|=16+12x-x^2-y^2, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют системе \[ \begin{cases} (|x|+x)^2+(|y|-y)^2\leqslant 16,\\ y-3x\leqslant 0, \end{cases} \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |5x|+|12y|+|60-5x-12y|=60, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
а) Изобразите на координатной плоскости фигуру $\Phi$, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x^2-y^2\leqslant 2(x-y),\\ x^2+y^2\leqslant 4(x+y-1).\end{cases} \]
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |x-1|+|5-x|\leqslant 4,\\ \dfrac{x^2-6x+2y+7}{y+x-4}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} y-x\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2+8x+y^2+6y}{2y-x-8}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |y|+|4+y|\leqslant4,\\ \dfrac{x-y^2-4y-3}{2y-x+3}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение: