Дана бесконечная числовая последовательность $a_1, a_2, \ldots$, о которой известно следующее: $a_1=20$, $a_{n+1}=a_na_{n+2}$, $n\in\mathbb{N}$. Найдите все значения, которые может принимать $a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
В кувшин залили 7 литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили 5 литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки.
а) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
б) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее чем на 99,9 процента?
а) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
б) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее чем на 99,9 процента?
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $a_n$ удовлетворяют соотношению: $a_{n+2}=a_n-\dfrac{2}{a_{n+1}}$, $a_1=8$, $a_2=19$. Найти $n$, для которого $a_n=0$.
Ответ:
Решение:
Члены двух числовых последовательностей $a_n$ и $b_n$ связаны между собой соотношениями \[ \begin{cases} 2a_{n+1}=\sqrt3a_n-b_n,\\ 2b_{n+1}=a_n+\sqrt3b_n, \end{cases}\quad a_1=b_1=1 \] для всех натуральных $n$. Найти наименьшее натуральное число $m$, для которого $a_{n+m}=a_n$, $b_{n+m}=b_n$ при любых $n$. Найти значения $a_{2021}$ и $b_{2021}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $x_n$ такова, что $x_0=2$, а для всех целых неотрицательных $n$ \[ \dfrac{x_{n+1}}{4n^2+12n+10}=\dfrac{x_n}{4n^2+4n+2}-1. \] Найдите $x_{100}$.
Ответ:
Решение:
В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\in\mathbb{N}$ справедливо соотношение \[ 3x_{n+2}-4x_{n+1}+x_n=0. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x_{2022}-x_{2020}}{x_{2025}-x_{2021}}$. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, построенную по следующему правилу: $x_1=14$, $x_2=20$, а $x_{n+1}$ — наименьшее составное число, которое больше, чем $2x_n-x_{n-1}$. Найдите $x_{30001}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ такова, что $a_n=n^2$ при $1\leqslant n\leqslant 5$ и при всех натуральных $n$ выполнено равенство $a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n$. Найдите $a_{2015}$.
Ответ:
Решение:
Точка $R_1$ — середина отрезка $ST$; точка $R_2$ — середина отрезка $SR_1$; для каждого $n\geqslant 3$ точка $R_n$ — середина отрезка $R_{n-2}R_{n-1}$. Пусть $R$ — предельное положение точки $R_n$ при $n\to\infty$. Найдите длину отрезка $RT$, если длина отрезка $ST$ равна $15$.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=\dfrac{x}{3}+2$. Найдите значение функции \[ \underbrace{f(\ldots f(f}_{2009}(x))\ldots) \] в точке $x=4$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяют соотношению $a_{n+1}=2a_n+3$, $a_1=a$ для любых $n$ и целом $a$. При каких $a$ число 637 является членом последовательности?
Ответ:
Решение:
Может ли соотношение $x_{n+2}\cdot x_{n+1}=x_{n+1}\cdot x_n-2$, $x_1=2$, $x_2=2017$ определять члены последовательности $x_n$ для всех $n$? Найти $n$, для которого $x_n=0$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $x_n$ являются решениями уравнения \[ F_n(x)=\underbrace{f(f(f\ldots(f(x))\ldots)}_{n}=0 \] для всех $n\geqslant1$. Написать формулу общего члена последовательности и найти $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, если $f(x)=2x-3$.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску числа $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{2025}$ такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения $k\in[2;2024]$ число $A_{k+1}-A_k$ вдвое меньше, чем $A_{k+1}-A_{k-1}$. Каково наименьшее возможное значение отношения \[ \dfrac{A_{100}-A_{98}}{A_{2023}-A_{2013}}? \]
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа $a_1, a_2, \ldots, a_{200}$. Известно, что $a_1=3$, $a_2=9$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ такова, что $a_1=4$, $a_2=25$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что $n^3+11n$ делится на 6 при любом $n \in \mathbb{N}$.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\ldots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{n}{4n+1}.$$
Ответ:
Решение: