Простейшие задачи на треугольниках. Признаки равенства. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Медиана, биссектриса, высота в треугольнике. Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник, свойства и признаки. Средняя линия треугольника.

6337
Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямой $BC$, а через вершины $B$ и $C$ — другая окружность, касающаяся прямой $AB$. Продолжение общей хорды $BD$ этих окружностей пересекает отрезок $AC$ в точке $E$, а продолжение хорды $AD$ одной окружности пересекает другую окружность в точке $F$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.
Ответ:
Решение:
7295
Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Найдите длину медианы, проведенной к стороне $BC$, если угол $BAC$ равен $47^{\circ}$, угол $BMC$ равен $133^{\circ}$, $BC=4\sqrt3$.
Ответ:
Решение:
7296
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причем точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
11142
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $E$ и $F$ такие, что $AF=AC$ и $BE=BC$. Найдите угол $ECF$.
Ответ:
Решение:
11143
Треугольник $XYZ$ равнобедренный ($\angle XYZ=\angle XZY=35^\circ$). Внутри угла $XYZ$, но вне треугольника $XYZ$ взята точка $P$ так, что $\angle XPY=22^\circ$, а $\angle ZPY=55^\circ$. Найдите $\angle PYX$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
11144
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ и $\angle ABC=\frac{\pi}{9}$ на стороне $AB$ выбрана точка $D$ так, что $BD=AC$. Найдите величину угла $DCB$ (в радианах) и сравните её с $0{,}18$.
Ответ:
Решение:
11145
В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $CM$ за точку $C$ отметили точку $K$ так, что $AM=CK$. Известно, что угол $BMC$ равен $60^\circ$. Докажите, что $AC=BK$.
Ответ:
Решение:
11146
Дан равнобедренный треугольник $KLM$ ($KL=LM$) с углом при вершине, равным $114^\circ$. Точка $O$ расположена внутри треугольника $KLM$ так, что $\angle OMK=30^\circ$, а $\angle OKM=27^\circ$. Найдите величину угла $\angle LOM$.
Ответ:
Решение:
11147
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взята такая точка $P$, что $\angle PBA=\angle PCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина стороны $AD$, причём $BM=CM$. Докажите, что $\angle PAB=\angle PDC$.
Ответ:
Решение:
14977
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ на стороне $CB$ выбрана точка $D$ так, что $CD=AC-AB$. Точка $M$ — середина $AD$. Докажите, что угол $BMC$ — тупой.
Ответ:
Решение:
14978
Точки $D$ и $E$ отмечены соответственно на сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что $AD=EC$. Оказалось, что $BD=ED$, $\angle BDC=\angle DEB$. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AB=7$ и $BE=2$.
Ответ:
Решение:
14979
$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник. Известно, что $\angle CAD=\angle DBA=40^\circ$, $\angle CAB=60^\circ$, $\angle CBD=20^\circ$. Найдите угол $CDB$.
Ответ:
Решение:
14980
В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ точки $M$, $N$, $P$, $Q$ расположены так, как показано на рисунке. Известно, что $MA+AN=PC+CQ=a$. Найдите величину угла $NOQ$.
равносторонний треугольник ABC (A — слева внизу, B — справа внизу, C — вверху). Точки M и P лежат на стороне AC (M ближе к A, P — между M и C), точка N — на стороне AB (ближе к B), точка Q — на стороне BC. Проведены отрезки MQ и PN; O — точка их пересечения.равносторонний треугольник ABC (A — слева внизу, B — справа внизу, C — вверху). Точки M и P лежат на стороне AC (M ближе к A, P — между M и C), точка N — на стороне AB (ближе к B), точка Q — на стороне BC. Проведены отрезки MQ и PN; O — точка их пересечения.
Ответ:
Решение:
14981
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAC=\angle BDA$ и $\angle BAD=\angle ADC=60^\circ$. Найдите длину $AD$, если известно, что $AB=14$, $CD=6$.
Ответ:
Решение:
14982
Про четырёхугольник $ABCD$ известно, что $AB=BD$, $\angle ABD=\angle DBC$, $\angle BCD=90^\circ$. На отрезке $BC$ отмечена точка $E$ такая, что $AD=DE$. Чему равна длина отрезка $BD$, если известно, что $BE=7$, $EC=5$?
Ответ:
Решение:
14983
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезках $AD$ и $DC$ во внешнюю сторону от исходного треугольника построены равносторонние треугольники $ADE$ и $DCF$. Известно, что периметр треугольника $DEF$ равен 19, а периметр пятиугольника $ABCFE$ равен 43.
1. Найдите длину отрезка $AB$.
2. Найдите длину отрезка $EF$.
отрезок AC горизонтален, точка D на нём ближе к C; вершина B равностороннего треугольника ABC внизу; над AC — равносторонние треугольники ADE (больший) и DCF (меньший); точки E и F соединены пунктиром.отрезок AC горизонтален, точка D на нём ближе к C; вершина B равностороннего треугольника ABC внизу; над AC — равносторонние треугольники ADE (больший) и DCF (меньший); точки E и F соединены пунктиром.
Ответ:
Решение:
14984
На рисунке изображены два равных треугольника: $ABC$ и $EBD$. Оказалось, что $\angle DAE=\angle DEA=37^\circ$. Найдите угол $BAC$.
точки A и E расположены внизу слева и справа, точка D — вверху, точка B — ниже D (отрезок DB вертикален), точка C лежит на отрезке BE. Проведены отрезки DB, DE, BE, AB и AC; отрезки AD и AE не проведены. Отмечены равные углы: ABC= DBE (по одной дуге), BCA= BDE (по две дуги), BAC= BED (по три дуги).точки A и E расположены внизу слева и справа, точка D — вверху, точка B — ниже D (отрезок DB вертикален), точка C лежит на отрезке BE. Проведены отрезки DB, DE, BE, AB и AC; отрезки AD и AE не проведены. Отмечены равные углы: ABC= DBE (по одной дуге), BCA= BDE (по две дуги), BAC= BED (по три дуги).
Ответ:
Решение:
14985
Точка $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $X$. Оказалось, что $AI=BX$, $AC=CX$, $\angle ABC=42^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $BIX$?
2. Сколько градусов составляет угол $BCA$?
треугольник ABC с горизонтальной стороной BC (B слева, C справа), вершина A — вверху; внутри треугольника — точка I пересечения биссектрис, проведён отрезок AI; на стороне BC отмечена точка X; равные отрезки AI и BX помечены одним штрихом, равные отрезки AC и CX — двумя штрихами.треугольник ABC с горизонтальной стороной BC (B слева, C справа), вершина A — вверху; внутри треугольника — точка I пересечения биссектрис, проведён отрезок AI; на стороне BC отмечена точка X; равные отрезки AI и BX помечены одним штрихом, равные отрезки AC и CX — двумя штрихами.
Ответ:
Решение:
14986
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Оказалось, что $CH=AB+AH$. Сколько градусов составляет угол $BAC$, если $\angle ABC=84^\circ$?
остроугольный треугольник ABC (B — вверху, A — внизу слева, C — справа), высота BH, основание H на стороне AC ближе к A, прямой угол при H отмечен; у вершины B подписан угол 84^ , у вершины A — искомый угол («?»).остроугольный треугольник ABC (B — вверху, A — внизу слева, C — справа), высота BH, основание H на стороне AC ближе к A, прямой угол при H отмечен; у вершины B подписан угол 84^ , у вершины A — искомый угол («?»).
Ответ:
Решение:
14987
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ABD=\angle CBD=47^\circ$. Точка $K$ такова, что точка $D$ является серединой отрезка $AK$. Оказалось, что $BC=AB+CK$.
Сколько градусов составляет $\angle BCK$?
выпуклый четырёхугольник ABCD с диагональю BD; углы ABD и CBD отмечены как 47^ . Точка K лежит на продолжении отрезка AD за точку D (AD=DK), проведены отрезки DC и CK; угол BCK отмечен дужкой.выпуклый четырёхугольник ABCD с диагональю BD; углы ABD и CBD отмечены как 47^ . Точка K лежит на продолжении отрезка AD за точку D (AD=DK), проведены отрезки DC и CK; угол BCK отмечен дужкой.
Ответ:
Решение:

© Моисеев Д. В., 2015-2026 г. Самозанятый (налог на профессиональный доход), ИНН 771586487450