Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что треугольники $A_1BC$, $AB_1C$, $ABC_1$ и $ABC$ — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ лежат на одной сфере.
Ответ:
Решение:
Рубик сделал развёртку куба размером $3\times3\times3$ и отметил на ней две точки (см. рисунок). Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ ($ABCDEF$ — основание) боковое ребро равно $a$, плоский угол при вершине $S$ равен $10^\circ$. Муравей ползёт по поверхности пирамиды из вершины $A$, стремится побывать на всех боковых рёбрах (возможно в вершинах) и вернуться в точку $A$. Какова длина его кратчайшего пути?
Ответ:
Решение:
Стороны основания кирпича равны 28 см и 9 см, а высота 6 см. Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие ее скорости $v_x$ и $v_y$ связаны соотношением $v_x^2+4v_y^2=1$ (например, на верхней грани $v_y=0$ см/мин, поэтому $v_x=v=1$ см/мин). Какое наименьшее время может затратить улитка на своё путешествие?
Ответ:
Решение:
Дана правильная десятиугольная призма $A_1A_2\ldots A_{10}B_1B_2\ldots B_{10}$. Некоторая плоскость $\alpha$ пересекает $n$ её рёбер, не проходя ни через одну из точек $A_1$, …, $A_{10}$, $B_1$, …, $B_{10}$.
1. Какое наименьшее натуральное значение может принимать $n$?
2. Какое наибольшее натуральное значение может принимать $n$?
1. Какое наименьшее натуральное значение может принимать $n$?
2. Какое наибольшее натуральное значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $A_1D_1$ выбрана точка $X$, а на ребре $BC$ выбрана точка $Y$. Известно, что $A_1X=5$, $BY=3$, $B_1C_1=14$. Плоскость $C_1XY$ пересекает луч $DA$ в точке $Z$. Найдите $DZ$.
Ответ:
Решение:
Внутри тетраэдра $ABCD$ даны точки $X$ и $Y$. Расстояния от точки $X$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 14, 11, 29, 8 соответственно. А расстояния от точки $Y$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 15, 13, 25, 11 соответственно. Найдите радиус вписанной сферы тетраэдра $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $ABCD$. Сфера $\omega_A$ касается грани $BCD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера $\omega_B$ касается грани $ACD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть $K$ — точка касания сферы $\omega_A$ с плоскостью $ACD$, а $L$ — точка касания сферы $\omega_B$ с плоскостью $BCD$. На продолжениях отрезков $AK$ и $BL$ за точки $K$ и $L$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $\angle CKD=\angle CXD+\angle CBD$ и $\angle CLD=\angle CYD+\angle CAD$. Докажите, что точки $X$ и $Y$ равноудалены от середины отрезка $CD$.
Ответ:
Решение:
Сфера с центром в точке $I$ вписана в тетраэдр $ABCD$ и касается его граней $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Отрезок $A_1B_1$ пересекает плоскость $C_1D_1I$ в точке $E$. Докажите, что середина ребра $AB$ лежит в плоскости $CDE$.
Ответ:
Решение:
В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой $\ell$ на данное расстояние $R\gt 0$). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром?
Ответ:
Решение:
Внутри куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен центр $O$ сферы радиуса 10. Сфера пересекает грань $AA_1D_1D$ по окружности радиуса 1, грань $A_1B_1C_1D_1$ по окружности радиуса 1, грань $CDD_1C_1$ по окружности радиуса 3. Найдите длину отрезка $OD_1$.
Ответ:
Решение:
На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
Ответ:
Решение:
Центры шести сфер радиуса 1 расположены в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы $S$ с центром в центре шестиугольника. Сфера $P$ касается шести сфер внешним образом и сферы $S$ внутренним образом. Чему равен радиус сферы $P$?
Ответ:
Решение:
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
Ответ:
Решение:
В пространстве даны три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке $P$. Обозначим через $O_{ijk}$ центр сферы, проходящей через точки $A_i$, $B_j$, $C_k$ и $P$. Докажите, что прямые $O_{111}O_{222}$, $O_{112}O_{221}$, $O_{121}O_{212}$ и $O_{211}O_{122}$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
На сфере $\omega_1$ отмечена фиксированная точка $A$, а на сфере $\omega_2$ — фиксированная точка $B$. На сфере $\omega_1$ выбирается переменная точка $X$, а на сфере $\omega_2$ — переменная точка $Y$ так, что $AX\parallel BY$. Докажите, что середины всех построенных таким образом отрезков $XY$ лежат на одной сфере.
Ответ:
Решение:
Три сферы попарно касаются внешним образом в точках $A$, $B$ и $C$, а также касаются плоскости $\alpha$ в точках $D$, $E$ и $F$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, меньше, чем радиус окружности, описанной около треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ вписана в сферу $\Omega$. Докажите, что сферы, симметричные $\Omega$ относительно прямых $SA$, $SB$, $SC$ и плоскости $ABC$, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой $\ell$ — это сфера такого же радиуса, центр которой симметричен центру исходной сферы относительно прямой $\ell$.
Ответ:
Решение:
В пространстве расположены отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ с общей серединой $M$. Оказалось, что сфера $\omega$, описанная около тетраэдра $MA_1B_1C_1$, касается плоскости $ABC$ в точке $D$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что $MO=MD$.
Ответ:
Решение:
На ребре $AA'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ с ребром длины 2 отмечена точка $K$. В пространстве отмечена такая точка $T$, что $TB=\sqrt{11}$ и $TC=\sqrt{15}$. Найдите длину высоты тетраэдра $TBCK$, опущенной из вершины $C$.
Ответ:
Решение: