Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется равенство \[ \sin\left(n^\circ+80^\circ\right)+\sin\left(n^\circ-40^\circ\right)+\sin\left(n^\circ+70^\circ\right)-\cos25^\circ=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений системы неравенств \[ \begin{cases} (x-0{,}3)^2\leqslant 440,\\ \sin x\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что \[ (\sin\pi x+\sin\pi y)\sin\pi x=(\cos\pi x+\cos\pi y)\cos\pi x. \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
Ответ:
Решение:
При каких целых $n$ выражение $6\sin\dfrac{5\pi n}{12}+\sin\dfrac{5\pi n}{4}$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Целое число $n$ таково, что $\cos\dfrac{(2n^2+n+1)\pi}{2}=1$, а уравнение $\sin x\cdot\sin 5x\cdot\sin nx=1$ имеет решение. Найти все такие $n$.
Ответ:
Решение:
Найти номера $n\geqslant 1$ членов арифметической прогрессии $a_n=\frac{5n+2}{3}$, являющихся решениями уравнения $\sqrt{10}\cos(\pi a_n)=\sqrt{4\cos(\pi a_n)-\cos(2\pi a_n)}$.
Ответ:
Решение:
При каких целых положительных $n$ уравнение $\sin x\cdot\sin 2x\cdot\sin 3x\cdot\ldots\cdot\sin nx=0$ имеет не менее десяти решений на отрезке $[0;\pi/4]$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Определите, при каких значениях $n$ и $k$ уравнение \[ \sin x+\sin y=\dfrac{\pi k}{2017} \] является следствием уравнения \[ x+y=\dfrac{\pi n}{48}. \]
Ответ:
Решение:
Каково расстояние между ближайшими друг к другу корнями уравнения \[ \sin(\pi x)=\sin(3x^\circ)? \]
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество множителей вида $\sin\dfrac{n\pi}{x}$ можно вычеркнуть в левой части уравнения \[\sin\frac{\pi}{x}\sin\frac{2\pi}{x}\sin\frac{3\pi}{x}\ldots\sin\frac{2015\pi}{x}=0\] так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар $(x;y)$ таких, что $x,y\in\mathbb{Z}$ и \[ \begin{cases} \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi y}{2}\right),\\ \cos\left(\dfrac{2\pi x+\pi y}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi y}{12}\right),\\ |2x+y-45|+|y|\leqslant 45. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что уравнение \[ \sin(2020x)+\cos(2020x)=\dfrac{x}{5050}+1 \] имеет по крайней мере $8000$ корней, принадлежащих отрезку $[-2\pi;2\pi]$.
Ответ:
Решение:
На прямоугольной полоске \[ 0\leqslant x\leqslant 1,\quad -1\leqslant y\leqslant 1 \] построили графики функций \[ y=\sin k\pi x\quad\text{для всех } k\in\{11,13,17\}. \] На сколько непересекающихся областей окажется разделена эта полоска?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение функции $y=24\pi x/(9\pi^2+16x^2)$ на множестве решений уравнения $\sin x\cdot\cos 2x-2\cos^3 x+\cos 2x-\sin x+2\cos x=1$.
Ответ:
Решение:
Найти на интервале $(0;2\pi)$ наибольшее решение уравнения \[ (\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^3=\sin^3 x+\sin^3 2x+\sin^3 3x. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin3x}=\dfrac{1}{\sin x+\sin2x+\sin3x} \] при условии, что $\sin x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: