Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди решений уравнения \[\left(a^4+2014a^3+2014a^2+2014a+2013\right)x=a^3+3a^2-6a-8\] есть неотрицательные числа.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ решение $(x,y,z)$ системы \[ \begin{cases} x+2y=a,\\ 2y+3z=a+1,\\ x+3z=5 \end{cases} \] удовлетворяет уравнению $(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=19$? Найти эти решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} 2x+ay=a+3,\\ (a+2)x+2ay=6a-2 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары действительных параметров $a$ и $b$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} 3(a+b)x+12y=a,\\ 4bx+(a+b)by=1 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целочисленных параметров $a$, $b$ и $c$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} ax+2y+cz=c,\\ 3x+by+4z=4b \end{cases} \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Функция \[ \chi(t)=\begin{cases} 1, & \text{при } t\gt 0,\\ 0, & \text{при } t\leqslant 0. \end{cases} \] При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} x\cdot\chi(x-a)+y\cdot\chi(y-2a)=5a,\\ x+2y=2 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $b$, при которых для любого значения параметра $a$ существует тройка действительных чисел $(x,y,z)$, удовлетворяющая системе уравнений \[\begin{cases} ax+y=z+b,\\ 4x+ay=z^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнения \[ 5x^2-11x+2=0 \quad\text{и}\quad 2x^2-(a+2)x+a=0 \] имеют общий корень.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целых значений параметра $p$, при которых график функции \[ y=x^2+px+p^2+2p-3 \] пересекает ось $X$ в точках с абсциссами разных знаков.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+ax+a-2=0$?
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-2ax+2a-5=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $t$, при каждом из которых уравнение $x^2+4\sqrt{2}tx+9t^2-9=0$ имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ 4x^2-(4a+8)x+a^2+4a=0 \] имеет два действительных корня, которые отличаются ровно в $5$ раз.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целых значений параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ (a^2+a+1)x^2+(7a+2)x+(a-1)=0 \] имеет два корня, один из которых больше $2$, а другой — меньше $2$.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+4ax+4a-3=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнения\[x^2+ax+2012=0\quad\text{и}\quad x^2+2012x+a=0\]имеют хотя бы один общий корень.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма модулей корней квадратного трёхчлена $x^2-5ax+4a$ равна 3.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что \[ \begin{cases} x+y=a+2,\\ xy=a^2-a+2. \end{cases} \] При каком значении $a$ сумма $x^2+y^2$ принимает наибольшее значение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых
- корни уравнения \[x^2-(a^2-a)x+a-5=0\] являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии,
- а корни уравнения \[4x^2-(a^3-a^2)x+2a^4+2a^2-a^6-4=0\] являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее возможное значение выражения $x_1^2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — действительные корни уравнения $4x^2+4(a+2)x+6a+7=0$.
Ответ:
Решение: