На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что полученные 8 сумм представляют собой 8 последовательных натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
Девять посёлков соединены восемью дорогами $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, как показано на рисунке. Длины дорог равны 1, 2, 3, …, 8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили.
1. Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.
2. Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?
1. Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.
2. Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?
Ответ:
Решение:
В городе Буквинске люди знакомы, только если в их именах есть одинаковые буквы, а иначе — нет. У нескольких жителей Буквинска спросили, сколько у них знакомых в городе. Мартин сказал, что 20, Клим — 15, Инна — 12, Тамара — 12. Что ответила Камилла?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $1001\times1001$ поставили 0 или 1. Оказалось, что в любом столбце нулей больше, чем единиц. Обязательно ли найдутся два столбца таких, что число строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только нули, больше числа строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только единицы?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке таблицы размером $13\times13$ записано одно из натуральных чисел от 1 до 25. Клетку назовём «хорошей», если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из главных диагоналей оказаться «хорошими»?
Ответ:
Решение:
Каждая клетка таблицы размером $7\times8$ (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?
Ответ:
Решение:
При каких $n$, больших 2, можно расставить в клетках таблицы размером $n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков?
Ответ:
Решение:
По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 19 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
Ответ:
Решение:
У Егора есть таблица $5\times 5$. Назовём крестом какой-то клетки все 9 клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась такая таблица:
1. Сколько клеток загадал Егор?
2. Найдите координаты загаданных клеток.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| A | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| B | 2 | 2 | 2 | 1 | 2 |
| C | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| D | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| E | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
2. Найдите координаты загаданных клеток.
Ответ:
Решение:
За год каждый из восьмиклассников гимназии №1 получил по алгебре либо 8, либо 10 оценок (все оценки — от 2 до 5). Известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. Какое наибольшее количество восьмиклассников может быть в этой гимназии? Средний балл — это сумма всех оценок ученика, делённая на их количество.
Ответ:
Решение:
На доске написаны натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$. Известно, что среди шести сумм \[a+b,\quad b+c,\quad c+d,\quad d+a,\quad a+c,\quad b+d\] три равны 23, а три других равны 34.
1. Чему равно $a+b+c+d$?
2. Чему равно наименьшее из чисел $a$, $b$, $c$, $d$?
1. Чему равно $a+b+c+d$?
2. Чему равно наименьшее из чисел $a$, $b$, $c$, $d$?
Ответ:
Решение:
Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску $8\times8$. Лёня заметил, что в каждом квадрате $2\times2$ стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике $3\times1$ (или $1\times3$) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.
Ответ:
Решение:
На дискотеку пришли 42 человека: мальчики и девочки. Каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх. Сколько мальчиков было на танцах?
Ответ:
Решение:
У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из которых записаны числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число.
Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Ответ:
Решение:
Внутри большого треугольника периметра 120 провели несколько отрезков, которые разделили его на девять меньших треугольников, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны между собой. Чему они могут быть равны? Укажите все возможные варианты. Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
Ответ:
Решение:
В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился на дуэли с тремя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился на дуэли с двумя графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами и двумя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими маркизами сразился каждый граф?
Ответ:
Решение:
Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет на фортепиано, а остальные три поют. Вечером они посчитали, что Аня спела 8 песен, Таня — 6 песен, Оля — 3 песни, а Катя — 7 песен. Сколько раз аккомпанировала Таня? Обоснуйте свой ответ.
Ответ:
Решение:
Аня, Боря, Вика и Гена дежурят в течение 20 дней в школе. Известно, что каждый день дежурят ровно трое из них. Аня дежурила 15 раз, Боря — 14 раз, Вика — 18 раз. Сколько раз дежурил Гена?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $a$, а в каждом столбце таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.
Ответ:
Решение: