Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} y=-b-x^2,\\ x^2+y^2+8a^2=4+4a(x+y) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся число $b$ такое, что система \[ \begin{cases} x^2+y^2+2a(a+y-x)=49,\\ y=\dfrac{8}{(x-b)^2+1} \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} x=|y-b|+\dfrac{3}{b},\\ x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая системе \[ \begin{cases} \left(x^2-xy+y^2\right)(|x-y|-6)\geqslant 0,\\ x(x+2)+y(y-2)=a\ ? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая системе неравенств \[ \begin{cases} \left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2-36\right)\geqslant 0,\\ |x-2+y|+|x-2-y|\leqslant a\ ? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} x^2+y^2+31\leqslant 8\left(|x|+|y|\right),\\ x^2+y^2-2y=a^2-1 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} \left(x+y^2-1\right)\left(y-\sqrt{6}|x|\right)=0,\\ 2ay+x=1+a^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $t$ система уравнений \[\begin{cases} (x-1-4t)^2+(y-1-3t)^2=9t^2,\\ (x-5)^2+(y-3)^2=4\end{cases}\] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sqrt{x-9}=ax+7a-3$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} y=x^2+6x+7,\\ y=|x-a|-2 \end{cases} \] имеет четыре различных решения. Найдите эти решения при каждом значении $a$.
Ответ:
Решение:
На плоскости $xOy$ укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых, заданных уравнением \[ ax^2+(1-6a)x+2-a-2y+ay^2=0. \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} (y-3)^2-(x-1)^2=0,\\ (x-4)^2+(y+1)^2=a \end{cases} \] имеет нечётное число различных решений?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система\[\begin{cases}3|x|+4|y|=12,\\x^2+(y-1)^2=a^2,\end{cases}\]имеет нечётное количество решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\bigl|\ln|x|\bigr|=ax$ имеет три решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} |x|+|y|+\bigl||x|-|y|\bigr|=6,\\ |x|+|y|=a \end{cases} \] имеет наибольшее возможное число решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $y$, при каждом из которых ни одно значение $x$, удовлетворяющее неравенству \[ \log_2(|x|+|y|)\leqslant 2, \] не удовлетворяет неравенству \[ \log_{\frac12}(|x|+|y+4|)\geqslant -2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого значения $b$ система \[\begin{cases}(x+1)^2+|y-1|=2,\\ y=b|2x+1|+a\end{cases}\] имеет решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, заданной на плоскости $(x,y)$ системой \[\begin{cases}x^2+y^2-2ax-ay\leqslant1-\dfrac{5a^2}{4},\\ y^2+4xy+4x^2\leqslant25a^2,\end{cases}\] максимальна?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a\gt 0$, при каждом из которых из неравенства $x^2+y^2\leqslant a$ следует неравенство $(|x|+3)(|y|+3)\leqslant25$.
Ответ:
Решение:
При каких $\alpha$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-4\cos\alpha)^2+(y-4\sin\alpha)^2=1,\\ (x-5\cos2\alpha)^2+(y-5\sin2\alpha)^2=9 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение: