У фокусника есть два набора по $40$ карточек. На карточках каждого набора написаны различные натуральные числа от $1$ до $40$ (по одному числу на карточке). Фокусник перемешал карточки в каждом из наборов. После чего карточки первого набора он положил сверху на карточки второго набора. Затем он посчитал количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми числами и сложил полученные $40$ чисел. Какую наименьшую сумму он мог получить?
Ответ:
Решение:
Набор чисел $a$, $b$, $c$ каждую секунду заменяется на $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$. В начале имеется набор чисел $1000$, $987$, $998$. Через некоторое время получился набор $4067$, $6115$, $x$. Какое наибольшее значение может принимать $x$?
Ответ:
Решение:
На столе рубашкой вверх была разложена колода из $36$ игральных карт. Лёша перевернул $30$ карт, затем Макс перевернул $19$ карт, а после этого Боря — $21$ карту. В результате вся колода оказалась рубашкой вниз. Сколько карт было перевёрнуто трижды?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $a$, а в каждом столбце таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.
Ответ:
Решение:
В течение $2N$ дней Петя планирует готовиться к экзаменам по $N$ различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день он готовится только к одному предмету. Сколькими способами Петя может выбрать порядок, в котором он будет готовиться к экзаменам?
Ответ:
Решение:
Дан клетчатый прямоугольник $100\times 400$. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней линией» прямоугольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Дан правильный $16$-угольник. Найдите количество четвёрок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника, в котором хотя бы один угол равен $90^\circ$. (Две четвёрки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Дан правильный $18$-угольник. Найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен $40^\circ$. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 700$, $1\leqslant b\leqslant 700$, сумма $a+b$ делится на $7$, а произведение $ab$ делится на $5$. (При $a\neq b$ пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Игра в кости. При броске пяти попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 21 очко. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?
Ответ:
Решение:
Игра в кости. При броске шести попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 28 очков. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер правильного октаэдра по одному натуральному числу от 1 до 18 так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер?
Ответ:
Решение:
Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.
Ответ:
Решение:
Каждое из чисел $1,\,2,\,\ldots,\,39$ встречается в квадратной табличке $39\times39$ ровно $39$ раз. Сумма всех чисел, расположенных выше диагонали таблицы, в $3$ раза больше суммы чисел, находящихся под ней. Найти сумму чисел на диагонали.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, в своей записи они не содержат нулевых цифр, а их произведение делится на $15$.
Ответ:
Решение:
$5$ сундуков закрыты на $3$ замка каждый, все ключи ко всем замкам различны. Найдите количество способов выбрать из всех $15$ ключей $6$ так, чтобы с помощью них можно было открыть хотя бы один сундук.
Ответ:
Решение:
На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;59)$, $(59;59)$ и $(59;0)$. Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одной из прямых $y=x$ или $y=59-x$, но оба выбранных узла не лежали ни на какой прямой, параллельной любой из координатных осей.
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.
Ответ:
Решение:
$A$ — множество чисел, делящихся на 3; $B$ — множество чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. $C$ — множество простых чисел. На отрезке $[100;200]$ найдите количество чисел, принадлежащих множеству.
Ответ:
Решение:
На кухне лежит пакет с пакетами. Каждый из пакетов либо пустой (не содержит других пакетов), либо содержит ровно $5$ пакетов (в некоторых из них могут быть другие пакеты). Определите, сколько всего пакетов, если известно, что $101$ пакет пустой.
Ответ:
Решение: