Класс разделили на две команды «Знайки» и «Незнайки» и стали играть в игру «Вопросы и ответы». Правила игры простые: каждый игрок команды должен уметь задать по выбранной теме вопрос любому игроку другой команды и дать ответ на вопрос противника к нему адресованный. Учитель оценивает качество вопросов и ответов. В результате игры каждый член команды «Знайки» принял участие в игре ровно три раза (в форме вопроса или ответа), а каждый игрок команды «Незнайки» только два. Сколько учеников в классе, если на обед ходили $21$ ученик, а парт в классе $14$? (за партой могут сидеть не более двух учеников)
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, не превышающих 2022 и не входящих ни в арифметическую прогрессию $1, 3, 5, \ldots$, ни в арифметическую прогрессию $1, 4, 7, \ldots$
Ответ:
Решение:
Уходя на работу, мама поручила Мише, Пете и Васе: а) подмести пол в прихожей; б) помыть посуду; в) купить хлеба; г) заплатить за электричество; д) вынести мусор; е) пропылесосить ковёр в гостиной. Сколькими различными способами они могут распределить задания так, чтобы каждое задание делал кто-то один из ребят и при условии, чтобы каждый что-нибудь делал?
Ответ:
Решение:
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $12, 13, 14, 15, 16, 17, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $16=4^2$, $25=5^2$, $27=3^3$, $\ldots$)?
Ответ:
Решение:
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $6, 7, 8, 9, 10, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $8=2^3$, $9=3^2$, $16=4^2$, $\ldots$)?
Ответ:
Решение:
На кухне лежит пакет с пакетами. Каждый из пакетов либо пустой (не содержит других пакетов), либо содержит ровно $5$ пакетов (в некоторых из них могут быть другие пакеты). Определите, сколько всего пакетов, если известно, что $101$ пакет пустой.
Ответ:
Решение:
$A$ — множество чисел, делящихся на 3; $B$ — множество чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. $C$ — множество простых чисел. На отрезке $[100;200]$ найдите количество чисел, принадлежащих множеству.
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.
Ответ:
Решение:
На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;59)$, $(59;59)$ и $(59;0)$. Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одной из прямых $y=x$ или $y=59-x$, но оба выбранных узла не лежали ни на какой прямой, параллельной любой из координатных осей.
Ответ:
Решение:
$5$ сундуков закрыты на $3$ замка каждый, все ключи ко всем замкам различны. Найдите количество способов выбрать из всех $15$ ключей $6$ так, чтобы с помощью них можно было открыть хотя бы один сундук.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, в своей записи они не содержат нулевых цифр, а их произведение делится на $15$.
Ответ:
Решение:
Каждое из чисел $1,\,2,\,\ldots,\,39$ встречается в квадратной табличке $39\times39$ ровно $39$ раз. Сумма всех чисел, расположенных выше диагонали таблицы, в $3$ раза больше суммы чисел, находящихся под ней. Найти сумму чисел на диагонали.
Ответ:
Решение:
Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер правильного октаэдра по одному натуральному числу от 1 до 18 так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер?
Ответ:
Решение:
Игра в кости. При броске шести попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 28 очков. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?
Ответ:
Решение:
Игра в кости. При броске пяти попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 21 очко. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 700$, $1\leqslant b\leqslant 700$, сумма $a+b$ делится на $7$, а произведение $ab$ делится на $5$. (При $a\neq b$ пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Дан правильный $18$-угольник. Найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен $40^\circ$. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Дан правильный $16$-угольник. Найдите количество четвёрок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника, в котором хотя бы один угол равен $90^\circ$. (Две четвёрки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Дан клетчатый прямоугольник $100\times 400$. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней линией» прямоугольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение: