В течение $2N$ дней Петя планирует готовиться к экзаменам по $N$ различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день он готовится только к одному предмету. Сколькими способами Петя может выбрать порядок, в котором он будет готовиться к экзаменам?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $a$, а в каждом столбце таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.
Ответ:
Решение:
На столе рубашкой вверх была разложена колода из $36$ игральных карт. Лёша перевернул $30$ карт, затем Макс перевернул $19$ карт, а после этого Боря — $21$ карту. В результате вся колода оказалась рубашкой вниз. Сколько карт было перевёрнуто трижды?
Ответ:
Решение:
Набор чисел $a$, $b$, $c$ каждую секунду заменяется на $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$. В начале имеется набор чисел $1000$, $987$, $998$. Через некоторое время получился набор $4067$, $6115$, $x$. Какое наибольшее значение может принимать $x$?
Ответ:
Решение:
У фокусника есть два набора по $40$ карточек. На карточках каждого набора написаны различные натуральные числа от $1$ до $40$ (по одному числу на карточке). Фокусник перемешал карточки в каждом из наборов. После чего карточки первого набора он положил сверху на карточки второго набора. Затем он посчитал количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми числами и сложил полученные $40$ чисел. Какую наименьшую сумму он мог получить?
Ответ:
Решение:
Фишка покрашена в два цвета. Одна сторона — в красный, другая — в синий. На стол положили красной стороной вверх $100$ фишек. Вася перевернул $55$ фишек, затем Коля перевернул $68$ фишек, наконец, Петя перевернул $77$ фишек. Оказалось, что теперь все фишки лежат синей стороной вверх. Сколько фишек переворачивали все трое ребят?
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $1, 2, \ldots, 2015$. Над ними последовательно проделывают 2014 операций, причём $n$-я по счёту операция состоит в следующем: произвольные числа $a$ и $b$ (из написанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное $ab/n$. Что останется на доске в конце?
Ответ:
Решение:
Ваня сдал три ЕГЭ. По русскому языку он набрал на $5$ баллов меньше, чем по физике, а по физике — на $9$ баллов меньше, чем по математике. Золотая рыбка, приснившаяся Ване, обещала выполнить любое количество желаний следующих видов:
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?
Ответ:
Решение:
Два преподавателя получили два одинаковых набора экзаменационных билетов, написанных на карточках: по $30$ карточек с билетами каждый. Первый перемешал свои карточки и положил их стопкой на стол, потом второй перемешал свои карточки и положил их стопкой сверху на первую стопку. Они подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми билетами, и сложили полученные результаты ($30$ чисел). Какую наибольшую сумму они могли получить?
Ответ:
Решение:
Квадратное табло состоит из $2012\times2012$ ячеек, каждая из которых может светиться или быть погашена. Известно, что можно переключать состояние на противоположное одновременно для всех ячеек на любой горизонтали, на любой вертикали и на любой (не обязательно большой) диагонали. Гарантированно ли (независимо от того, какие ячейки в начальный момент светились, а какие были погашены) такими переключениями можно перевести табло в состояние, когда все ячейки погашены?
Ответ:
Решение:
На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?
Ответ:
Решение:
На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале на доске были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?
Ответ:
Решение:
Карлсон написал дробь $5/8$. Малыш может:
- прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно;
- умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $n\times n$ стоят плюсы и минусы. За один ход разрешается в произвольной строке или в произвольном столбце поменять все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно получить такую, при которой во всех ячейках стоят плюсы. Докажите, что этого можно добиться не более чем за $n$ ходов.
Ответ:
Решение:
На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. К ним по одному подошли ещё $20$ детей, и каждый из них садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика — отважным, если он садился между двумя соседними девочками. Когда все сели, оказалось, что мальчики и девочки сидят на скамейке, чередуясь. Сколько из них были отважными?
Ответ:
Решение:
В строку выписано 81 ненулевое число. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел?
Ответ:
Решение:
Пусть $B$ — множество действительных чисел, не содержащее $0$ и $1$. Известно, что если $b\in B$, то $\dfrac{1}{b}\in B$ и $1-\dfrac{1}{b}\in B$. Может ли в $B$ быть ровно $1000$ элементов?
Ответ:
Решение:
Назовём расстановку $n$ единиц и $m$ нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных $n$, $m$ существует хорошая расстановка?
Ответ:
Решение:
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Ответ:
Решение:
На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A+8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3+8\cdot 5=46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?
Ответ:
Решение: