Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{11}$, что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее число $m$ такое, что для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна 1, выполнено неравенство \[ \sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\geqslant m. \]
Ответ:
Решение:
Дано число $a\in(0,1)$. Положительные числа $x_0$, $x_1$, …, $x_n$ удовлетворяют условиям \[x_0+x_1+\ldots+x_n=n+a\] и \[\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}=n+\frac{1}{a}.\] Найдите наименьшее значение выражения $x_0^2+x_1^2+\ldots+x_n^2$.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает 100 (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$, сумма которых равна 1. Вася разбивает их на 50 пар по своему усмотрению, считает произведение чисел в каждой паре и выписывает на доску наибольшее из 50 полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\geqslant 2$. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает $2n$ (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{2n}$, сумма которых равна 1. Вася расставляет эти числа по кругу в некотором порядке по своему усмотрению. После этого он вычисляет произведения пар соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из всех $2n$ полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Петя, Вася и Толя вернулись с рыбалки, на которой каждый из них поймал некоторое количество рыб (хотя бы одну). После рыбалки они стали хвастаться своими уловами. Петя сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем каждый из остальных!». Вася сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем Петя и Толя в сумме!». Толя сказал: «Я поймал на 25% больше рыб, чем Вася!». Позже выяснилось, что каждый из ребят преувеличил свой улов не более, чем в $a$ раз. Какое наименьшее значение могло принимать число $a$?
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[\begin{cases} a^2+ab+b^2=11,\\ b^2+bc+c^2=11. \end{cases}\]
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
Ответ:
Решение:
Неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ в сумме дают 1. Найдите наибольшее возможное значение величины \[(a+3b+5c)\cdot\left(a+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{5}\right).\]
Ответ:
Решение:
В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть ещё 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила $\times$ ловкость $+$ ловкость $\times$ интеллект $+$ интеллект $\times$ харизма $+$ харизма $\times$ сила.
а) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа.
б) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
сила $\times$ ловкость $+$ ловкость $\times$ интеллект $+$ интеллект $\times$ харизма $+$ харизма $\times$ сила.
а) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа.
б) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
Ответ:
Решение:
Числа $a_1, a_2, \ldots, a_9$ таковы, что \[\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_9^2}{a_1+a_2+\ldots+a_9}=48.\] Какое наибольшее значение может принимать $a_1$?
Ответ:
Решение:
Каждое из натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения \[a+\dfrac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}.\]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что $x\in[-3,7]$, $y\in[-2,5]$, $z\in[-5,3]$.
1. Найдите наименьшее возможное значение величины $x^2+y^2$.
2. Найдите наименьшее возможное значение величины $xyz-z^2$.
1. Найдите наименьшее возможное значение величины $x^2+y^2$.
2. Найдите наименьшее возможное значение величины $xyz-z^2$.
Ответ:
Решение:
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили — в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий — в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Ответ:
Решение:
На окружности через равные промежутки отметили $400$ точек и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей дуге, которую она стягивает, лежит чётное число точек. В противном случае хорда «нечётная». Рядом с каждой вершиной написано число. Сумма квадратов этих чисел равна $100$. На каждой хорде написано произведение чисел, стоящих на её концах. Сумма чисел на «чётных» хордах равна $a$, сумма чисел на «нечётных» хордах равна $b$. Найдите наибольшее возможное значение величины $a-b$.
Ответ:
Решение:
Наименьшее значение функции\[\sqrt{x_1^2+1^2}+\sqrt{x_2^2+2^2}+\sqrt{x_3^2+3^2}+\ldots+\sqrt{x_{2023}^2+2023^2}\]для неотрицательных $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$, сумма которых равна $k$, равно $2023\cdot 2024$. При каком значении параметра $k$ такое возможно?
Ответ:
Решение:
Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперёк (см. рисунок). Можно ли отправить посылку объёма $63$ дм$^3$, имея $4{,}32$ м верёвки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы верёвкой пренебречь)?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(a-3)^2+(b-3)^2}+2\sqrt{(a-3)^2+(b+1)^2}+2\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения \[2\arccos(\sin(x-2y-1))+x-y+2\] при $0\leqslant x\leqslant\pi$, $0\leqslant y\leqslant\frac{\pi}{2}$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ M=|b|+|5a-b|+|2a+b-3|, \] где $a$ и $b$ — действительные числа. При каких $a$ и $b$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+15bx+c=0,\quad bx^2+15cx+a=0,\quad cx^2+15ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 27? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение: