В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle B=30^\circ$ и $\angle A=90^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$, а на стороне $BC$ — точки $L$ и $M$ так, что $KL=KM$ (точка $L$ лежит на отрезке $BM$).
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Окружность с центром в $A$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $E$, а окружность с центром в $B$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $D$. Найдите $ED$, если $AD=16$, $BE=50$.
Ответ:
Решение:
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны $\sqrt{3}$. Найдите разность периметров этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Прямая $\ell$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть $X$ и $Y$ — проекции точек $B$ и $C$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если $AB=20$, $AC=21$.
Ответ:
Решение:
У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?
Ответ:
Решение:
Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность. Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B=60^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отмечена точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$, причем $AD=CE$. На продолжении отрезка $AE$ за точку $E$ нашлась такая точка $F$, что $AC=CF$ и $DE=EF$. Найдите углы треугольника $DEF$ (укажите все возможные варианты).
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали равны, $\angle ADB=\angle ACD$, $CD=3$, $AD=1$ и $\angle BAD=150^\circ$. Найдите $BC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $E$. Биссектриса $AL$ пересекает отрезок $BE$ в точке $X$. Оказалось, что $AX=XE$ и $AL=BX$. Чему равно отношение углов $A$ и $B$ треугольника?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B-\angle A=180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L\neq B$ так, что $\angle ACK=2\angle BCK$ и $BK=KL$. Докажите, что $CK+AL=AC$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны и пересекаются в точке $K$. Внутри треугольников $AKD$ и $BKC$ выбрали точки $P$ и $Q$ соответственно так, что \[ \angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ. \] Докажите, что прямая $PQ$ параллельна биссектрисе угла $AKD$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны $100^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=CY$. Оказалось, что прямая $YD$ параллельна биссектрисе угла $ABC$. Найдите угол $AXY$.
Ответ:
Решение:
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF=AD$ и $AC+EF=DE$. Найдите угол $BDE$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD=CX$; $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP=BR$. Найдите сумму углов $ARM$, $PBM$ и $BMR$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что \[\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB.\] На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML=KL$. Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM=BN$. Точка $K$ — середина отрезка $BM$. Докажите, что $AK=KC$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе $AL$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Известно, что $\angle BAC=2\alpha$, $\angle ADC=3\alpha$, $\angle ACB=4\alpha$. Докажите, что $BC+CD=AB$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD$, а $\angle C=\angle A+\angle D$. Найдите угол $ACD$.
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY\parallel BC$. Докажите, что $PX=CY$.
Ответ:
Решение: