Все делители натурального числа $N$, кроме $N$ и единицы, выписали в ряд по убыванию: \[d_1\gt d_2\gt \ldots\gt d_k.\] Оказалось, что в каждой паре делителей, одинаково удалённых от концов этого ряда, больший делитель делится на меньший (то есть $d_1$ делится на $d_k$, $d_2$ — на $d_{k-1}$ и т. д.). Докажите, что в любой паре делителей числа $N$ больший делитель делится на меньший.
Ответ:
Решение:
У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером $n$ и ставит её непосредственно справа от книги с номером $m$, где $m$ — наибольший собственный делитель $n$. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
Ответ:
Решение:
У Пети есть три палочки, длины которых равны $a$ см, $b$ см и $c$ см. Известно, что числа $a$, $b$ и $c$ натуральные, различные, и $ac=b^2$. Петя смог сложить из своих палочек треугольник.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^a$ делится на $b^b$, однако $a$ не делится на $b$. Найдите наименьшее возможное значение числа $a+b$, если известно, что число $b$ взаимно просто с 210.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?
Ответ:
Решение:
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
Ответ:
Решение:
Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций:
- разделить его на два куска одинакового веса,
- разделить его на 11 кусков одинакового веса,
- разделить его на 23 куска одинакового веса.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $n$ ($n\gt 1$) и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел\[d+k\quad\text{и}\quad d-k\]также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое.
Ответ:
Решение:
Сумму цифр шестизначного числа умножили на произведение его цифр. Получилось 390. Найдите хотя бы одно такое шестизначное число.
Ответ:
Решение:
Напомним, что факториалом $n!$ натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно (например, $1!=1$, а $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$). Можно ли из чисел $1!, 2!, \ldots, 99!, 100!$ вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Натуральное число заканчивается на ноль, а наибольший из его делителей, не равных ему самому, является степенью простого числа. Найдите предпоследнюю цифру этого числа.
Ответ:
Решение:
Простое число $p$ таково, что числа \[ 15p-15 \quad\text{и}\quad 16p-15 \] являются точными квадратами. Чему может быть равно $p$? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него.
1. Найдите наибольшее особенное число.
2. Сколько всего особенных чисел на доске?
1. Найдите наибольшее особенное число.
2. Сколько всего особенных чисел на доске?
Ответ:
Решение:
Натуральное число $k\leqslant100$ таково, что $k^k$ является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать $k$?
Ответ:
Решение:
У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87.
Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62.
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62.
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
Ответ:
Решение:
Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального числа $n$ равна 10327. Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа $N$ (самый первый выписанный делитель — 1, самый большой выписанный делитель — само число $N$). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и его самого. Какие-то два числа из этого списка отличаются в шесть раз. А во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?
Ответ:
Решение:
На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
Ответ:
Решение:
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
Ответ:
Решение: