Цилиндр, конус, шар, комбинации тел вращения и многогранников. Вписанная и описанная сфера.
В пространстве расположены отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ с общей серединой $M$. Оказалось, что сфера $\omega$, описанная около тетраэдра $MA_1B_1C_1$, касается плоскости $ABC$ в точке $D$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что $MO=MD$.
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ вписана в сферу $\Omega$. Докажите, что сферы, симметричные $\Omega$ относительно прямых $SA$, $SB$, $SC$ и плоскости $ABC$, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой $\ell$ — это сфера такого же радиуса, центр которой симметричен центру исходной сферы относительно прямой $\ell$.
Ответ:
Решение:
Три сферы попарно касаются внешним образом в точках $A$, $B$ и $C$, а также касаются плоскости $\alpha$ в точках $D$, $E$ и $F$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, меньше, чем радиус окружности, описанной около треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
На сфере $\omega_1$ отмечена фиксированная точка $A$, а на сфере $\omega_2$ — фиксированная точка $B$. На сфере $\omega_1$ выбирается переменная точка $X$, а на сфере $\omega_2$ — переменная точка $Y$ так, что $AX\parallel BY$. Докажите, что середины всех построенных таким образом отрезков $XY$ лежат на одной сфере.
Ответ:
Решение:
В пространстве даны три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке $P$. Обозначим через $O_{ijk}$ центр сферы, проходящей через точки $A_i$, $B_j$, $C_k$ и $P$. Докажите, что прямые $O_{111}O_{222}$, $O_{112}O_{221}$, $O_{121}O_{212}$ и $O_{211}O_{122}$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
Ответ:
Решение:
Центры шести сфер радиуса 1 расположены в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы $S$ с центром в центре шестиугольника. Сфера $P$ касается шести сфер внешним образом и сферы $S$ внутренним образом. Чему равен радиус сферы $P$?
Ответ:
Решение:
На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
Ответ:
Решение:
Внутри куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен центр $O$ сферы радиуса 10. Сфера пересекает грань $AA_1D_1D$ по окружности радиуса 1, грань $A_1B_1C_1D_1$ по окружности радиуса 1, грань $CDD_1C_1$ по окружности радиуса 3. Найдите длину отрезка $OD_1$.
Ответ:
Решение:
В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой $\ell$ на данное расстояние $R\gt 0$). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром?
Ответ:
Решение:
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы). В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы полностью.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известны длины всех рёбер: \[ AB=BC=CD=DA=5,\ SB=2\sqrt{5},\ SA=SC=3\sqrt{5},\ SD=2\sqrt{10}. \] Сфера $\omega$ с диаметром $SB$ пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки $S$ и линии $L$, не содержащей точку $S$. Найдите длину линии $L$.
Ответ:
Решение:
Три шара радиуса $r$ касаются друг друга и шара радиуса $R$ внешним образом. При каком соотношении между $r$ и $R$ это возможно? Считая, что $R\gt r$, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом.
Ответ:
Решение:
В $2022$ году исполняется $65$ лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.
Ответ:
Решение:
Про тетраэдр $PQRS$ известно, что $PQ=4$, $SR=6$, $\angle QRS=\angle PSR=50^\circ$, $\angle QSR=\angle PRS=40^\circ$. Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек $P$, $Q$, $R$, $S$ не меньше $6\pi$. Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а высота — $a/2$. Найдите объём тела, ограниченного поверхностью этой пирамиды и сферами радиуса $a/3$ с центрами в вершинах основания этой пирамиды.
Ответ:
Решение:
Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в $2$ раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не большем $1$ см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз?
Ответ:
Решение:
На сфере расположены точки $A$, $B$, $C$ таким образом, что минимальные расстояния по поверхности сферы от точки $A$ до точки $B$, от точки $A$ до точки $C$ и от точки $B$ до точки $C$ равны $6\pi$, $8\pi$, $10\pi$ соответственно. Найдите минимальный возможный при таких условиях периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости $ABC$. Сфера радиусом, равным $AC$, с центром в точке $S$ делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если $SA=AB=2$.
Ответ:
Решение:
В желобе, имеющем форму двугранного угла величины $2\arcsin\frac{1}{3}$, неподвижно лежит шар радиуса 3, касаясь при этом обеих граней. Другой шар скользит вдоль желоба, также постоянно касаясь каждой из граней, и проскальзывает мимо неподвижно лежащего шара, не сталкиваясь с ним и даже не касаясь его. Найдите все возможные значения радиуса скользящего шара.
Ответ:
Решение: