Натуральные числа $n$ ($n\gt 1$) и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел\[d+k\quad\text{и}\quad d-k\]также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое.
Ответ:
Решение:
Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций:
- разделить его на два куска одинакового веса,
- разделить его на 11 кусков одинакового веса,
- разделить его на 23 куска одинакового веса.
Ответ:
Решение:
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^a$ делится на $b^b$, однако $a$ не делится на $b$. Найдите наименьшее возможное значение числа $a+b$, если известно, что число $b$ взаимно просто с 210.
Ответ:
Решение:
У Пети есть три палочки, длины которых равны $a$ см, $b$ см и $c$ см. Известно, что числа $a$, $b$ и $c$ натуральные, различные, и $ac=b^2$. Петя смог сложить из своих палочек треугольник.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером $n$ и ставит её непосредственно справа от книги с номером $m$, где $m$ — наибольший собственный делитель $n$. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
Ответ:
Решение:
Все делители натурального числа $N$, кроме $N$ и единицы, выписали в ряд по убыванию: \[d_1\gt d_2\gt \ldots\gt d_k.\] Оказалось, что в каждой паре делителей, одинаково удалённых от концов этого ряда, больший делитель делится на меньший (то есть $d_1$ делится на $d_k$, $d_2$ — на $d_{k-1}$ и т. д.). Докажите, что в любой паре делителей числа $N$ больший делитель делится на меньший.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа $n$, для которых число \[n^7+n^6+n^5+1\] имеет ровно три натуральных делителя.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ ($a\gt 1$), причём $b$ делится на $a^2$. Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем $\sqrt{a}$, является также делителем числа $a$. Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей.
Ответ:
Решение:
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа $n$, увеличенные на 1. Найдите все такие числа $n$, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа $m$. (Собственными делителями натурального числа $a\gt 1$ называются все его натуральные делители, отличные от $a$ и от 1.)
Ответ:
Решение:
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число $1^2+2^2+2^2$). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ — бесконечная возрастающая последовательность натуральных чисел, а $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\ldots$ — последовательность простых чисел такая, что при каждом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $p_n$. Оказалось, что при всех натуральных $n$ и $k$ верно равенство $a_n-a_k=p_n-p_k$. Докажите, что все числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$ простые.
Ответ:
Решение:
В детском саду воспитательница взяла $n\gt 1$ одинаковых картонных прямоугольников и раздала их $n$ детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребёнок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков — простое число. Докажите, что исходные прямоугольники были квадратами.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что дробь \[ k=\dfrac{ab+c^2}{a+b} \] является натуральным числом, меньшим $a$ и $b$. Какое наименьшее количество натуральных делителей может быть у числа $a+b$?
Ответ:
Решение:
Назовём главными делителями составного числа $n$ два наибольших его натуральных делителя, отличных от $n$. Составные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что главные делители числа $a$ совпадают с главными делителями числа $b$. Докажите, что $a=b$.
Ответ:
Решение:
Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$, большее 2. Докажите, что если число $n!+n^3+1$ — простое, то число $n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел.
Ответ:
Решение:
Делители натурального числа $n$ (включая $n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию:\[1=d_1\lt d_2\lt \ldots\lt d_k=n.\]Разности\[u_1=d_2-d_1,\quad u_2=d_3-d_2,\quad\ldots,\quad u_{k-1}=d_k-d_{k-1}\]оказались такими, что\[u_2-u_1=u_3-u_2=\ldots=u_{k-1}-u_{k-2}.\]Найдите все такие $n$.
Ответ:
Решение:
Пусть $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k$, большие 1, таковы, что каждое из чисел $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, $p_{100}p_1^3$ равно произведению каких-то двух из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$. Докажите, что $k\geqslant150$.
Ответ:
Решение: