Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=1{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения \[ K=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{xy} \] не изменяется, если $x$ уменьшить на 1, а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения $M=x^3-y^3-3xy$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ с нулевой суммой таковы, что \[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$?
Ответ:
Решение:
Можно ли представить выражение \[ \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-(ax+bz)^2-(by-cx)^2-(cz+ay)^2 \] в виде квадрата некоторого многочлена от переменных $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$?
Ответ:
Решение:
Найдите десятичную запись числа \[ \frac{(2x-x^2)\cdot10^6}{33}+\left(\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}\right), \] если $x=0{,}9999$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=2{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Известно, что одним из корней уравнения \[ x^2-4a^2b^2x=4 \] является $x_1=(a^2+b^2)^2$. Найдите $a^4-b^4$.
Ответ:
Решение:
Пусть для некоторых чисел $x$, $y$, $z$ выполняется равенство \[ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}=1{,}5. \] Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}$.
Ответ:
Решение:
Для положительных чисел $x$ и $y$ с суммой $7$ Петя выписал на доску числа \[\dfrac{x^2+y^2}{x+y},\quad\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},\quad\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}.\] Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Какое наибольшее значение может принимать сумма $x^2+y^2$?
Ответ:
Решение:
Про числа $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что \[ a^2+7b^2=14,\quad bc-ad=7,\quad ac+7bd=\sqrt{210}. \] Найдите наибольшее значение выражения $c^2+7d^2$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что если числа $x$, $y$ и $z$ — целые, то число\[\frac12\left((x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4\right)\]является квадратом некоторого целого числа.
Ответ:
Решение:
Координаты точки удовлетворяют соотношению $xy+yz+zx=4$. На каком расстоянии от плоскости $z=-3$ может лежать эта точка, если известно, что расстояние от этой точки до начала координат равно двум?
Ответ:
Решение:
Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что \[(3a+2b)(3b+2a)=295.\] Найдите $a+b$.
Ответ:
Решение:
Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь увеличится на 9280 м$^2$. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
Четыре числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что верна пропорция \[\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\quad\text{и}\quad ad=60.\] Найдите произведение всех четырех чисел.
Ответ:
Решение:
Известно, что $a^2+b=b^2+c=c^2+a$. Какие значения может принимать выражение \[a(a^2-b^2)+b(b^2-c^2)+c(c^2-a^2)\,?\]
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие попарно различные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2bx+c^2$, число $b$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2cx+a^2$, а число $c$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2ax+b^2$?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $2\times2$ вписано по одному числу. Все числа различны,
- сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке,
- а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: