В треугольник $ABC$ вписана окружность $\omega$, касающаяся стороны $BC$ в точке $K$. Окружность $\omega'$ симметрична окружности $\omega$ относительно точки $A$. Точка $A_0$ выбрана так, что отрезки $BA_0$ и $CA_0$ касаются $\omega'$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что прямая $AM$ делит отрезок $KA_0$ пополам.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $I$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $AC$ пересекает лучи $AA_1$ и $CC_1$ в точках $A_2$ и $C_2$ соответственно. Точка $O_a$ — центр описанной окружности треугольника $AC_1C_2$, точка $O_c$ — центр описанной окружности треугольника $CA_1A_2$. Докажите, что $\angle O_aBO_c=\angle AIC$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ описана около остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt BC$; его высоты пересекаются в точке $H$. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ отмечена точка $D$ такая, что $\angle ADC=\angle ABC$. Прямая, проходящая через точку $H$ параллельно прямой $BO$, пересекает меньшую дугу $AC$ окружности $\Omega$ в точке $E$. Докажите, что $BH=DE$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. Точки $D$ и $E$ — соответственно середины меньших дуг $AB$ и $BC$ окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $BD$ за точку $D$ отмечена точка $P$, а на продолжении отрезка $BE$ за точку $E$ — точка $Q$ так, что $\angle APB=\angle CQB=90^\circ$. Докажите, что середина отрезка $BL$ лежит на прямой $PQ$.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$, вписан в окружность $\Omega$. На биссектрисе угла $BAC$ выбрана точка $A'$, а на биссектрисе угла $ABC$ — точка $B'$ так, что $AB'\parallel BC$ и $BA'\parallel AC$. Прямая $A'B'$ пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что треугольник $CDE$ равнобедренный.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны $BC$ в точке $A'$. Точка $X$ выбирается на отрезке $A'A$ так, что отрезок $A'X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведённые из $X$ к $\omega$, пересекают отрезок $BC$ в точках $Y$ и $Z$. Докажите, что сумма $XY+XZ$ не зависит от выбора точки $X$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрисы угла $ABC$ и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую $AC$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Из точек $B_1$ и $B_2$ провели касательные к окружности, вписанной в треугольник $ABC$, отличные от прямой $AC$. Они касаются этой окружности в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $K_1$ и $K_2$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательная к этой окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Прямые $AI$ и $BI$ пересекают биссектрису угла $CDB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $PQ$. Докажите, что прямая $MI$ проходит через середину дуги $ACB$ окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Два равных прямоугольника $ABCX$ и $DEFX$ расположены так, как на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка $AF$ до центра описанной окружности треугольника $XCD$, если известно, что $CD=5$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ — центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^\circ$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Вписанные окружности треугольников $ABD$ и $ACD$ касаются $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно и касаются $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть прямые $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите площадь треугольника $XYZ$, если известно, что $BC=22$, $AD=12$, а периметр треугольника $ABC$ равен 56.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $MKN$ проведена биссектриса $KL$. Точка $X$ на стороне $MK$ такова, что $KX=KN$. Докажите, что прямые $KO$ и $XL$ перпендикулярны ($O$ — центр описанной окружности треугольника $MKN$).
Ответ:
Решение:
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) равен основанию $AC$. На основании $AC$ построен квадрат $AKLC$ так, что отрезок $KL$ пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник $BKL$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$, а $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания этих сторон со вписанной окружностью соответственно. Прямые $A_1C_1$, $B_1C_1$ пересекают $A_0B_0$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $CC_1$ делит отрезок $XY$ пополам.
Ответ:
Решение:
Около треугольника $ABC$ описана окружность $\omega_1$. Точка $O$ — центр окружности $\omega_2$, вписанной в треугольник $ABC$. Прямая $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$ и второй раз окружность $\omega_1$ в точке $N$. Найдите длину $AO$, если $AB=1{,}5BK$ и $KN=4$.
Ответ:
Решение:
Отрезки $AD$ и $AE$ являются соответственно медианой и высотой треугольника $ABC$, точка $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности, $F$ — точка пересечения прямых $AE$ и $OD$. Найдите отношение периметра треугольника $ABC$ к стороне $BC$, если $FE=3AF$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на стороне $BC$ выбирается точка $N$ так, что окружность, вписанная в треугольник $ACN$, касается стороны $AN$ в точке $K$ и $\angle CDK=18^\circ$, где точка $D$ — середина $AB$. Найдите величину $\angle CAN$.
Ответ:
Решение:
Первая окружность с центром в точке $O$ вписана в треугольник $ABC$. Точки $A$ и $B$ лежат на второй окружности с центром в той же точке $O$. Прямая $AC$ пересекает вторую окружность в точке $D$ ($D\ne A$), а прямая $BC$ пересекает вторую окружность в точке $E$ ($B\ne E$). Известно, что угол $ABC$ равен углу $CAE$. Найдите косинус угла $BAC$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Ответ:
Решение: