В треугольник $ABC$ со сторонами $AB=5$, $BC=8$, $AC=7$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. На прямой $MN$ отмечена точка $K$ так, что угол $OAK$ равен $60^\circ$. Найдите длину отрезка $KN$.
Ответ:
Решение:
Дизайнер спроектировал офисное помещение с основанием в виде прямоугольного треугольника $ABC$, угол $C$ прямой. С помощью потолочного освещения помещение разбито на зоны следующим образом: большой светильник $P$ освещает площадь $S$, ограниченную окружностью, которая вписана в треугольник $ABC$. Если к этой окружности провести внутри треугольника $ABC$ касательные, параллельные сторонам комнаты, то получатся ещё три треугольника при вершинах $A$, $B$ и $C$, в которые можно вписать маленькие окружности, ограничивающие площади $S_A$, $S_B$, $S_C$. Эти площади освещаются дополнительными светильниками $P_A$, $P_B$, $P_C$. Найдите радиусы всех окружностей и освещённость каждой зоны, если площадь треугольника равна $S_{ABC}=240$ м$^2$, гипотенуза $AB=34$ м, величина угла $BAC$ меньше величины угла $CBA$, а показатели световой отдачи (яркости) светильника $P$ составляет 51840 лм, светильника $P_A$ — 28512 лм, светильника $P_B$ — 5670 лм и светильника $P_C$ — 1620 лм. Освещённость $E_x$ площади $S_x$ светильником $P_x$ с показателем световой отдачи $F_x$ рассчитывается по формуле $E_x=\dfrac12\cdot\dfrac{F_x}{S_x}$ лк, где $\dfrac12$ — поправочный коэффициент, лк — люкс, лм — люмен.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность с центром $O$. Касательная к окружности пересекает стороны $BC$ и $CA$ треугольника в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти радиус окружности, если $\angle MNC=2\angle NMC$, $OM=\sqrt{10}$, $ON=\frac{15}{4}$.
Ответ:
Решение:
Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружности.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена медиана $CD$. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, если $BC=4$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $\frac52$.
Ответ:
Решение:
Один из углов треугольника равен $\dfrac{3\pi}{4}$, радиус вписанной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен $16\left(6+\sqrt{2}\right)$. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, медиана $AD=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$. На биссектрисе $CE$ выбрана точка $F$ такая, что $CF=\dfrac{CE}{5}$. Через точку $F$ проведена прямая $l$, параллельная $BC$. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до прямой $l$.
Ответ:
Решение:
Найти стороны параллелограмма $ABCD$, в котором радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны 5 и $\sqrt{13}$ соответственно, а растояние между центрами этих окружностей равно 2.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ периметра 40 и площади 60 сторона $BC$ равна 16. Внутри треугольника $ABC$ взята точка $D$, удалённая на расстояние 1 от прямой $AB$ и на расстоянии 2 от прямой $AC$. Найти угол $BAC$ и расстояние от $D$ до центра вписанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположены такие точки $D$, $E$ и $F$, что точка $D$ лежит на отрезке $AE$, точка $E$ лежит на отрезке $BF$, а точка $F$ лежит на отрезке $CD$. Известно, что центр окружности $\Omega$, описанной вокруг треугольника $ABC$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $DEF$. Также дано, что $\angle DEF=90^\circ$, $DE/EF=5/3$, радиус окружности $\Omega$ равен $6$, а отношение площадей $S_{ABC}/S_{DEF}=12{,}8$. Найдите $DF$.
Ответ:
Решение:
В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $AK_1=4$, $BK_2=6$ и $AB=16$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
Ответ:
Решение:
В углы $C$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $BC$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $CK_1=3$, $BK_2=7$ и $BC=16$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
Ответ:
Решение:
Точка $A$ лежит на стороне $LM$ треугольника $KLM$ с углом $120^\circ$ при вершине $K$. В треугольники $AKL$ и $AKM$ вписаны окружности с центрами $F$ и $O$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $FKO$, если $AO=2$, $AF=7$.
Ответ:
Решение:
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $F$. Оказалось, что $AB=BF$ и $FC=CD$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABF$, $FCD$, $BFC$ равны 2, 5 и 4 соответственно. Найдите отношение $AF:FD$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность остроугольного треугольника $ABC$ касается сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $D$. Точка $Y$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на $AB$, а $X$ — вторая точка пересечения $EY$ со вписанной окружностью треугольника $ABC$. Найдите радиус этой окружности, если площадь треугольника $AXD$ равна 12, а $5AD=6EY$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Пусть $M$ — середина той дуги $AB$ описанной окружности, которая не содержит точку $C$; $N$ — середина той дуги $AC$ описанной окружности, которая не содержит точку $B$. Найдите расстояние от вершины $A$ до центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если расстояния от точек $M$ и $N$ до сторон $AB$ и $AC$ соответственно равны $4{,}5$ и $2$.
Ответ:
Решение:
Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\Omega$. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно, $CF$ — биссектриса треугольника $ABC$. Лучи $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $G$, принадлежащей $\Omega$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $\dfrac{CF}{DF}=\dfrac12$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ касается его сторон $CA$, $AB$, $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Луч $ED$ пересекает прямую, перпендикулярную $BC$, проходящую через вершину $C$, в точке $Y$; $X$ — вторая точка пересечения прямой $FY$ с окружностью $\omega$. Известно, что $EX=2\sqrt2XY$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Точки $O$ и $Q$ — центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ соответственно. Прямая $AB$ пересекает отрезок $OQ$ в точке $M$ так, что $OM:MQ=2$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что $Q$ равноудалена от точек $A$ и $B$.
Ответ:
Решение:
Из равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при вершине и площадью $1$ вырезают максимальный по площади круг, а из него — максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь $S(\alpha)$ полученного в итоге треугольника при $60^\circ\leqslant\alpha\leqslant120^\circ$?
Ответ:
Решение: