Определите все значения $a$, при которых уравнение \[ 4x^2-16|x|+(2a+|x|-x)^2=16 \] имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \bigl|a-3|x+0{,}5|+x+2{,}5\bigr|+\bigl|a-x^2\bigr|=x^2+x-3|x+0{,}5|+2{,}5 \] имеет ровно два целых решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \bigl|2+|x|-a\bigr|-\bigl|a-|x+1|-|x-1|\bigr|=2+|x|+|x+1|+|x-1|-2a \] имеет ровно два целых решения. Укажите эти решения при каждом из найденных $a$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\left|ax^2+3\right|=|2ax|+|3a|\] имеет хотя бы одно действительное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых уравнение \[ 6a-2ab\,\tilde{\operatorname{tg}}\,x+\sqrt{2\left(x+\left|x+b\,\tilde{\operatorname{tg}}\,x\right|+b\,\tilde{\operatorname{tg}}\,x\right)}=4+2ax \] имеет единственное решение, если $\tilde{\operatorname{tg}}\,x=\operatorname{tg}x$ при $x\ne\pi/2+\pi n$, и $\tilde{\operatorname{tg}}\,x=0$ при $x=\pi/2+\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Укажите это решение при каждом из найденных значений $a$ и $b$.
Ответ:
Решение:
Найдите, при каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} x^2-y+a=0,\\ x+y^2+a=0. \end{cases} \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $p$, при которых система уравнений имеет единственное решение \[ \begin{cases} y^2=\dfrac{1+\cos x}{2},\\ px^2+p-3=2x^2+y-\sqrt{\dfrac{1-\cos4x}{2}}. \end{cases} \] В ответе выпишите наименьшее из полученных значений параметра.
Ответ:
Решение:
Для каких из перечисленных значений параметра $a$ ($a=-1,\ 2010,\ \log_2 3$) найдётся такое значение $b$, что уравнение \[ \cos x+\cos ax=b \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} y-a^2+5(a-1)=(a^2-5a+6)(x-3)^6+\sqrt{(x-3)^2}, \\ x^2+y^2=2(3x-4) \end{cases} \] имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых имеет единственное решение система \[ \begin{cases} (x^2+1)a=y-\cos x, \\ \sin^4 x+|y|=1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 3^{x^2-2ax+a^2}=ax^2-2a^2x+a^3+a^2-4a+4 \] имеет ровно одно решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|y^3|+a|x^3|-8\right)\left(x^6+y^6-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{x^6y^6}=a \end{cases} \] имеет восемь различных решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[2^{\frac{(x+1)^2}{x^2+1}}+a^2-4=2a\cos\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ a^2\left(x^2+1\right)^3+\left(x^3+1\right)^2=12ax^3 \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $c$ найдётся такой угол $\alpha$, что числа $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются корнями квадратного уравнения $8x^2+6x+c=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых существует число $\alpha$, такое, что уравнение \[ x^2+(\sin\alpha+3\cos\alpha)x+b=0 \] имеет действительное решение.
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем значении параметра $b$ существует такое $\alpha$, что уравнение \[ x^2+(2\sin\alpha+3\cos\alpha)x+b=0 \] имеет действительное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ 5\sin^2 x-2a\sin x\cos x+8\cos^2 x=4 \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ \sqrt{3-\dfrac{a^2}{25}}\,\sin x+\dfrac{a}{10}\cos x=\sqrt{2} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение: