Действительное число $a$ таково, что уравнение $ax^2+(a+10)x-10-2a=0$ имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно $a$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x+2)\cdot(x+4)\cdot(x+9)\cdot(x+18)=a\cdot x^2$ имеет ровно два различных решения.
Ответ:
Решение:
Доказать, что уравнение \[ x^3-6x=a^3+\dfrac{8}{a^3} \] не может иметь трех действительных решений ни при каких $a$.
При каких $a$ уравнение имеет два различных решения? Найти эти решения.
При каких $a$ уравнение имеет два различных решения? Найти эти решения.
Ответ:
Решение:
Известно, что график функции \[ y=(x-2)\cdot\left(x^2-3a^2x+x+2a^4-2\right) \] пересекает оси координат ровно в трёх различных точках. Определите, при каком значении параметра $a$ эти три точки не являются вершинами треугольника. В ответ запишите наибольшее значение параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Известно, что график функции \[ y=(x-1)\cdot\left(x^2-3a^2x+2a^4+a^2-1\right) \] пересекает оси координат ровно в трёх различных точках. Определите, при каких $a$ эти три точки образуют треугольник? В ответ запишите наибольшую возможную площадь такого треугольника.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ (x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+8)\cdot(x+16)=ax^2 \] имеет ровно два различных решения.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(a+x^2-x+2\right)^2=4a\left(ax^2+x^2-x+2\right) \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left(x^2-a\right)^2+2\left(x^2-a\right)+(x-a)+2=0 \] имеет ровно одно решение? Укажите решение при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^3-11x^2+ax-8=0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
При каких $b$ найдется $c$ такое, что уравнение \[ x^3+x^2+bx+c=0 \] имеет три отрицательных корня, являющиеся тремя последовательными членами арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение $P(x^2)=P(x)$, где $P(x)=ax^2-3x+5$, имеет ровно три различных решения?
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ три корня уравнения $4x^3+4ax^2+(a^2-2a-4)x-a^2-2a=0$ могут быть пятым, седьмым и девятым членами некоторой геометрической прогрессии? Найти квадрат знаменателя этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $p$, при которых сумма всех корней уравнения \[ \left(x-\frac94p\right)^4-4p(p-1)\left(x-\frac94p\right)^2-p^3(2p-3)=0 \] меньше $-5p^2+11p+7$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $p$ уравнение \[ p\left(x^2+4x+4\right)^2-\left(3p^2+2\right)\left(x^2+4x+4\right)(x-1)+6p\left(x^2-2x+1\right)=0 \] имеет хотя бы одно решение?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ x^2+2x+a^2+2a-5=2\left(f\left(\frac{1}{x}\right)-ax\right) \] имеет единственное решение. Функция $f(t)$ задается соотношением \[ f(t)=\frac{\sqrt[3]{(27\cdot t^2+4)(t+2)+32t}}{t-\sqrt{t^2}} \] при всех возможных значениях $t$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^4+ax^2+a^2-4=0$ имеет ровно два действительных корня.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшие значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(|x-2|+2a\right)^2-3\left(|x-2|+2a\right)+4a(3-4a)=0 \] имеет три решения. В ответе укажите наибольшее из них.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ и $b$ уравнения \[ f(x)=0\quad\text{и}\quad f\bigl(f(x)\bigr)=0 \] равносильные (имеют одинаковое непустое множество решений), где $f(x)=(b+1)x^2-2ax+b$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых существует значение параметра $b$ такое, что уравнение \[ 5x^2+(2a+9)x+7a-10b=0 \] имеет два корня $x_1$ и $x_2$ таких, что $5\leqslant x_1\leqslant10$ и $14\leqslant x_2\leqslant15$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение \[4ax^2+(4a-3)x+a-14=0\] имеет на отрезке $[0;1]$ единственный корень.
Ответ:
Решение: