Существует ли функция $f$, определённая на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству \[ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x? \]
Ответ:
Решение:
Дана строго возрастающая функция $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in\mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.
Ответ:
Решение:
Числовая последовательность $a_0,\ a_1,\ a_2,\ \ldots$ такова, что при всех целых неотрицательных числах $m$ и $n$ ($m\geqslant n$) выполняется соотношение $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac12\left(a_{2m}+a_{2n}\right)$. Найдите $a_{2021}$, если $a_1=1$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ при всех действительных $x\ne1$ удовлетворяет соотношению \[ (x-1)f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+4f(x)+14x=0. \] Решите уравнение $4\cdot8^x=7+2^{f(x)}$.
Ответ:
Решение:
Вася придумал функцию $f(x)$ такую, что для любого действительного числа $x$ и для некоторого фиксированного положительного числа $k$ выполняется равенство \[ \left(\sqrt{3}-f(x)\right)f(x+k)=\sqrt{3}f(x)+1. \] При каком наибольшем целом значении $m$ из интервала $(30;50)$ можно утверждать, что \[ f(x+mk)=f(x) \] при всех действительных $x$?
Ответ:
Решение:
Функция $f$, заданная на множестве целых чисел, удовлетворяет условиям:
- $f(1)+1\gt 0$;
- $f(x+y)-xf(y)-yf(x)=f(x)f(y)-x-y+xy$ при любых $x,y\in\mathbb Z$;
- $2f(x)=f(x+1)-x+1$ при любых $x\in\mathbb Z$.
Ответ:
Решение:
Найдите функцию $f(x)$, о которой известно, что \[ f(x)=\begin{cases} x\cdot f\left(\frac{2x+3}{x-2}\right)+3 & \text{при } x\neq2,\\ 0 & \text{при } x=2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все периодические функции $y=f(x)$, удовлетворяющие уравнению \[ f(x)-0{,}5f(x-\pi)=\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Функция $g$ определена на целых числах и принимает целые значения, причём $g(x)\neq x$ для каждого целого $x$. Назовём число $a$ красивым, если для любого целого числа $x$ выполнено $g(x)=g(a-x)$. Может ли каждое из чисел $739$ и $741$ быть красивым?
Ответ:
Решение:
Функция $F$ определена на множестве троек целых чисел и принимает действительные значения. Известно, что для любых четырёх целых чисел $a$, $b$, $c$ и $n$ выполняются равенства $F(na,nb,nc)=n\cdot F(a,b,c)$, $F(a+n,b+n,c+n)=F(a,b,c)+n$, $F(a,b,c)=F(c,b,a)$. Найдите $F(58,59,60)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых существует такое вещественное число $a$, что при всех вещественных $x$, $y$ выполнено равенство\[2f(xy+3)=f(x)f(y)-f(x)-2y+a.\]
Ответ:
Решение:
Функция $f$, определенная на действительных числах, принимает действительные значения. Известно, что для любых действительных $x$ и $y$ выполнено равенство\[f(x)f(y)=f(7x-y).\]Найдите все такие функции $f$.
Ответ:
Решение:
Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие при всех $x,y\in\mathbb{R}$ уравнению\[2(f(x)+f(y))=\max\left\{2f(x+y);\ x-y;\ y-x\right\}.\]
Ответ:
Решение:
Найдите главный (наименьший положительный) период функции \[ y=\left(\arcsin\left(\sin\left(\arccos\left(\cos3x\right)\right)\right)\right)^{-5}. \]
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных $n$ таких, что функция \[ f(x)=\cos nx\cdot\sin\dfrac{10x}{n} \] имеет период $6\pi$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите $q$.
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите коэффициент $q$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x^2$, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $2x^2$?
Ответ:
Решение: