Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что $(2+a)(2+b)\geqslant cd$.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого треугольника.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2b+b^2c+c^2a=2\quad\text{и}\quad ab^2+bc^2+ca^2=4. \] Докажите, что из чисел $a$, $b$, $c$ какие-то два отличаются более чем на 2.
Ответ:
Решение:
Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг.
Ответ:
Решение:
На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ x\gt y^2+z^2,\quad y\gt z^2+x^2,\quad z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $1/2$.
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\leqslant\frac{1}{a^3b^3c^3d^3}.\]
Ответ:
Решение:
На доске выписаны в ряд $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Вася хочет выписать под каждым числом $a_i$ число $b_i\geqslant a_i$ так, чтобы для любых двух из чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство $b_1b_2\ldots b_n\leqslant2^{(n-1)/2}a_1a_2\ldots a_n$.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, где $n\geqslant 2$. Докажите, что \[ \frac{1+x_1^2}{1+x_1x_2}+\frac{1+x_2^2}{1+x_2x_3}+\ldots+\frac{1+x_{n-1}^2}{1+x_{n-1}x_n}+\frac{1+x_n^2}{1+x_nx_1}\geqslant n. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $\ldots$, $a_{25}$ — целые неотрицательные числа, а $k$ — наименьшее из них. Докажите, что \[ [\sqrt{a_1}\,]+[\sqrt{a_2}\,]+\ldots+[\sqrt{a_{25}}\,]\geqslant\left[\sqrt{a_1+\ldots+a_{25}+200k}\,\right]. \] (Как обычно, через $[x]$ обозначается целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $x^2+y^2+z^2=1$. Докажите, что \[(x-y)(y-z)(x-z)\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}.\]
Ответ:
Решение:
Даны числа $a$, $b$, $c$, не меньшие 1. Докажите, что \[ \frac{a+b+c}{4}\geqslant\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых положительных $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_9$ верно неравенство \[\frac{x_1-x_3}{x_1x_3+2x_2x_3+x_2^2}+\frac{x_2-x_4}{x_2x_4+2x_3x_4+x_3^2}+\ldots+\frac{x_8-x_1}{x_8x_1+2x_9x_1+x_9^2}+\frac{x_9-x_2}{x_9x_2+2x_1x_2+x_1^2}\geqslant0.\]
Ответ:
Решение:
Даны неотрицательные числа $a$, $b$, $c$, $d$ такие, что $a+b+c+d=8$. Докажите, что \[ \frac{a^3}{a^2+b+c}+\frac{b^3}{b^2+c+d}+\frac{c^3}{c^2+d+a}+\frac{d^3}{d^2+a+b}\geqslant4. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых трех положительных вещественных чисел $x$, $y$, $z$ выполнено неравенство \[ (x-y)\sqrt{3x^2+y^2}+(y-z)\sqrt{3y^2+z^2}+(z-x)\sqrt{3z^2+x^2}\geqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Даны ненулевые числа $a$, $b$, $c$. Докажите, что выполняется неравенство \[ \left|\frac{b}{a}-\frac{b}{c}\right|+\left|\frac{c}{a}-\frac{c}{b}\right|+|bc+1|\gt 1. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа, причём $a+b+c=3$. Докажите, что \[ \frac{a}{b^4+2b}+\frac{b}{c^4+2c}+\frac{c}{a^4+2a}\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ больше единицы и удовлетворяют равенству \[ \left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)=1. \] Докажите, что \[ \left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{1}{b}\right)^2+\left(c-\frac{1}{c}\right)^2\geqslant\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}. \]
Ответ:
Решение:
По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1.
Ответ:
Решение: