В треугольнике $ABC$, где угол $B$ прямой, а угол $A$ меньше угла $C$, проведена медиана $BM$. На стороне $AC$ взята точка $L$ так, что $\angle ABM=\angle MBL$. Описанная окружность треугольника $BML$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Докажите, что $AN=BL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $M$. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой $CM$, который пересекает сторону $AD$ в точке $E$. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $CE$. Найдите угол $APB$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На отрезках $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=BY$. Оказалось, что точки $A$, $X$, $Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Пусть $BL$ — биссектриса треугольника $ABC$ ($L$ на отрезке $AC$). Докажите, что $XL\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$, $\angle AEC=5\angle BAF$, $\angle ABC=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
Через концы дуги $\overset{\frown}{AB}$, угловая величина которой равна $60^\circ$, проведены параллельные хорды $BC$ и $AD$, причём длина $BC$ в четыре раза меньше длины $AD$. Хорды $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $E$. Найдите площадь треугольника $AED$, если известно, что $|AC|=30$.
Ответ:
Решение:
В окружности радиуса $5\sqrt2$ проведены взаимно перпендикулярные хорды, которые точкой пересечения делятся в отношении $6:1$ и $2:3$. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.
Ответ:
Решение:
На диаметре $AB$ выбрана точка $M$. Точки $C$ и $D$, лежащие на окружности по одну сторону от $AB$, выбраны так, что $\angle AMC=\angle BMD=30^\circ$. Найдите диаметр окружности, если известно, что $CD=12$.
Ответ:
Решение:
Марк Уотни испытывает на прочность новый купол, предназначенный для экспедиции на Марс. Купол выполнен в форме полусферы радиуса 20 м. Марк поворачивается на север и стреляет под углом $45^\circ$ к земле, потом поворачивается на юг и тоже стреляет под углом $45^\circ$ (см. рис). Какие значения может принимать $|P_1P_2|$ — расстояние между точками попадания?
Ответ:
Решение:
Окружность с диаметром $PQ$ пересекает отрезки $PR$ и $QR$ в точках $A$ и $B$ соответственно, причём длина отрезка $AB$ равна радиусу окружности. Найдите площадь четырёхугольника $PABQ$, если известно, что $AR=4$ и $BR=6$.
Ответ:
Решение:
Окружность с диаметром $AB$ пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, причём длина отрезка $MN$ равна радиусу окружности. Найдите площадь четырехугольника $ABNM$, если известно, что $AC=12$ и $BC=8$.
Ответ:
Решение:
Петя хотел нарисовать правильный треугольник $ABC$. Но, поскольку он рисовал неточно, получился треугольник с углами $\angle A=59^\circ$ и $\angle B=63^\circ$. Потом Петя провёл высоты $CE$ и $BD$, но, поскольку угольник был слегка перекошен, получил углы $\angle ADB=\angle AEC=92^\circ$. Найдите градусную меру угла $AED$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 1 проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt3$, $MK=1$, а центр окружности находится внутри треугольника $ABC$ на расстоянии 5 от точки $C$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах $A$ и $B$ пересекают описанную окружность в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Угол между биссектрисами равен $60^\circ$. Длина стороны $AB$ равна 3. Найдите площадь треугольника $A_1B_1O$.
Ответ:
Решение:
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ квадрата $ABCD$, пересекает прямые $AD$ и $AC$ в точках $E$ и $F$, отличных от точки $A$. Длина ортогональной проекции отрезка $EF$ на прямую $AC$ равна 1. Какой при этих условиях может быть длина стороны квадрата?
Ответ:
Решение:
Окружность с центром в точке $O$, лежащей на стороне $AB$ треугольника $ABC$, проходит через точку $A$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$, а сторону $BC$ — в точках $L$ и $M$. Известно, что $KC=CL=MB=2$, $AK=3$. Найдите отношение длин отрезков $AO$ и $OB$.
Ответ:
Решение:
Точка $B$ лежит на отрезке $AC$ так, что $AB=3$, $BC=4$. На отрезках $AB$ и $BC$ по одну сторону от прямой $AC$ построены квадраты. Окружности, описанные вокруг этих квадратов, пересекаются в точке $D$, отличной от $B$. Найдите площадь треугольника $ACD$.
Ответ:
Решение:
На окружности взята точка $A$, на её диаметре $BC$ — точки $D$ и $E$, а на его продолжении за точку $B$ — точка $F$. Найдите $BC$, если $\angle BAD=\angle ACD$, $\angle BAF=\angle CAE$, $BD=2$, $BE=5$ и $BF=4$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=8$, $BC=6$, вписана в окружность. Хорда $EF$ окружности, содержащая среднюю линию трапеции, имеет длину $3\sqrt{11}$. Какую длину имеет хорда $PQ$, параллельная $EF$, проходящая через точку $S$ на стороне $AB$ такую, что $AS:BS=4:3$? В ответ напишите квадрат искомой величины.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$, а затем на отрезке $CH$ как на диаметре построена окружность. Точки $M$, $N$ и $P$ отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение $BH:CH$, если $(MP\cdot NP):CP^2=0{,}75$ и $AH:CH=0{,}5$.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ равного радиуса $10$ пересекаются в точках $B$ и $C$. На окружности $\omega_1$ выбрана точка $A$, которая не лежит внутри $\omega_2$. Луч $AB$ пересекает $\omega_2$ в точке $D$, причём $B$ лежит на отрезке $AD$. Точка $E$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$. Найдите $AE$, если $AD=25$, $BC=15$. Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение: