Высота $CH$, опущенная из вершины прямого угла треугольника $ABC$, делит биссектрису $BL$ этого треугольника пополам. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Точки $E$ и $D$ отмечены на отрезках $AB$ и $BL$ соответственно так, что $DL=LC$, $ED\parallel AC$. Найдите длину отрезка $ED$, если известно, что $AE=15$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. На гипотенузе отметили точки $X$ и $Y$, такие что $CX$ и $CY$ — биссектрисы углов $BCH$ и $HCA$ соответственно. Найдите, чему равна длина стороны $AB$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 44, а длина отрезка $XY$ равна 6.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что $\angle ABM=40^\circ$, а $\angle CBM=70^\circ$. Найдите отношение $AB:BM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, кроме того, \[BC=2AC/3\quad\text{и}\quad \angle BMC=2\angle ABM.\] Найдите отношение $AM/AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $K$. $KM$ и $KP$ — это биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$ соответственно. Оказалось, что диагональ $MK$ делит четырёхугольник $BMPK$ на два равных треугольника. Докажите, что $M$ — середина $AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ — биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF\parallel AC$. Найдите угол $DEF$.
Ответ:
Решение:
Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
Вершина $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) лежит на основании $AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника $AMN$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ так, что отрезок $PQ$ касается окружности. Докажите, что $\angle BOP=\angle COQ$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ACP$ пересекаются в точке $M$, а биссектриса угла $PBA$ и прямая, содержащая биссектрису угла $BPC$, пересекаются в точке $N$. Докажите, что точка пересечения прямых $CP$ и $AB$ лежит на прямой $MN$.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). $HK$ — высота треугольника $AHB$. Оказалось, что $4HK=AB$. Чему могла быть равна градусная мера угла $ABC$? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей.
Ответ:
Решение:
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. $O$ — центр описанной окружности треугольника $BHC$. Центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на отрезке $OA$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle ABE=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $DME$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ построена точка $D$, симметричная центру $I$ вписанной окружности относительно центра $O$ описанной окружности. Докажите, что $AD^2=4R^2-AB\cdot AC$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $BP=PQ=QC$. Точки $X$ и $Y$ выбраны соответственно на отрезках $AC$ и $AB$ так, что $PX\perp AC$ и $QY\perp AB$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ равноудалена от прямых $XQ$ и $YP$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$. Известно, что $\angle ABD=90^\circ$ и $BC=CD$. На отрезке $BD$ выбрана точка $F$ такая, что $\angle BCF=90^\circ$. Докажите, что $MF\perp CD$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D$. Оказалось, что $BC=BD=2$ и $AN=3$. Докажите, что $\angle ADC=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN\parallel AC$. Оказалось, что $NK=LN$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение: