Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $Q$. Докажите, что $|AD-CD|\geqslant|r_1-r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$ и $AD=2$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$. Биссектриса угла $CFD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а биссектриса угла $BEC$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ и площадь четырёхугольника $KMLN$.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_1$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_2$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Известно, что $\angle BAC=28^\circ$ и $\angle ACD=74^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle ABC$?
Ответ:
Решение:
В описанном четырехугольнике $ABCD$ оказалось, что $\angle ABC=\angle ACD=90^\circ$. Известно, что $AB=5$, $BC=3$. Найдите, чему равно $CD$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ отметили точку $E$ — пересечение лучей $AD$ и $BC$ и точку $F$ — пересечение лучей $AB$ и $DC$. Оказалось, что $CD=DE$, $\angle AEB=51^\circ$ и угловые меры дуг $BC$ и $AD$ находятся в соотношении $2:5$.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ — середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ является вписанным.
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ — вписанный. На его диагоналях $AC$ и $BD$ отметили точки $K$ и $L$ соответственно так, что $AK=AB$ и $DL=DC$. Докажите, что прямые $KL$ и $AD$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $BC=CD$, $AC=c$, $\angle BAD=2\alpha$. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
На сторонах выпуклого четырёхугольника $ABCD$ во внешнюю сторону построены прямоугольники. Оказалось, что все вершины этих прямоугольников, отличные от точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — вписанный.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между $A$ и $L$), а на стороне $CD$ взяты точки $M$ и $N$ (точка $M$ между $C$ и $N$). Известно, что $AK=KN=DN$ и $BL=BC=CM$. Докажите, что если $BCNK$ — вписанный четырёхугольник, то и $ADML$ тоже вписан.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на описанной окружности $\omega$ треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ тоже лежит на окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$ с центром в точке $O$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причём точка $O$ лежит внутри треугольника $BPC$. На отрезке $BO$ выбрана точка $H$ так, что $\angle BHP=90^\circ$. Описанная окружность $\omega$ треугольника $PHD$ вторично пересекает отрезок $PC$ в точке $Q$. Докажите, что $AP=CQ$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $DB=BC=CE$. Отрезки $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $BDP$ и $CEP$, пересекаются в центре окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $M$ и $N$ — точки касания вписанной окружности сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Через точку $I$ проведена прямая $\ell$, параллельная стороне $AC$, и на неё опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A=2\angle B$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что $AD+AE=BE$.
Ответ:
Решение:
Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle A=\angle C=90^\circ$. Известно, что его вершины $A$ и $D$ вместе с серединами сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности. Докажите, что вершины $B$ и $C$ вместе с серединами сторон $AD$ и $DC$ тоже лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Точка $Q$ выбрана на отрезке $BC$ так, что $PQ\perp AC$. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, описанных около треугольников $APD$ и $BQD$, параллельна прямой $AD$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ касается сторон угла $BAC$ в точках $B$ и $C$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Окружность $\omega$ пересекает $\ell$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$ и $T$ выбраны на отрезке $BC$ так, что $KS\parallel AC$ и $LT\parallel AB$. Докажите, что точки $P$, $Q$, $S$ и $T$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $D$ — основание высоты, проведённой из $A$. На отрезке $MN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=CK$. Луч $KD$ пересекает окружность $\Omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $Q$. Докажите, что точки $C$, $N$, $K$ и $Q$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение: