Окружность с центром в точке $O$, лежащей на стороне $AB$ треугольника $ABC$, проходит через точку $A$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$, а сторону $BC$ — в точках $L$ и $M$. Известно, что $KC=CL=MB=2$, $AK=3$. Найдите отношение длин отрезков $AO$ и $OB$.
Ответ:
Решение:
Точка $B$ лежит на отрезке $AC$ так, что $AB=3$, $BC=4$. На отрезках $AB$ и $BC$ по одну сторону от прямой $AC$ построены квадраты. Окружности, описанные вокруг этих квадратов, пересекаются в точке $D$, отличной от $B$. Найдите площадь треугольника $ACD$.
Ответ:
Решение:
На окружности взята точка $A$, на её диаметре $BC$ — точки $D$ и $E$, а на его продолжении за точку $B$ — точка $F$. Найдите $BC$, если $\angle BAD=\angle ACD$, $\angle BAF=\angle CAE$, $BD=2$, $BE=5$ и $BF=4$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=8$, $BC=6$, вписана в окружность. Хорда $EF$ окружности, содержащая среднюю линию трапеции, имеет длину $3\sqrt{11}$. Какую длину имеет хорда $PQ$, параллельная $EF$, проходящая через точку $S$ на стороне $AB$ такую, что $AS:BS=4:3$? В ответ напишите квадрат искомой величины.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$, а затем на отрезке $CH$ как на диаметре построена окружность. Точки $M$, $N$ и $P$ отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение $BH:CH$, если $(MP\cdot NP):CP^2=0{,}75$ и $AH:CH=0{,}5$.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ равного радиуса $10$ пересекаются в точках $B$ и $C$. На окружности $\omega_1$ выбрана точка $A$, которая не лежит внутри $\omega_2$. Луч $AB$ пересекает $\omega_2$ в точке $D$, причём $B$ лежит на отрезке $AD$. Точка $E$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$. Найдите $AE$, если $AD=25$, $BC=15$. Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
В окружности $\omega$ проведены три хорды $AB$, $AC$ и $AD$ так, что углы $\angle BAC$ и $\angle DAC$ равны между собой. Найдите хорду $BD$, если $AB=\sqrt{2}$, $AC=3$, $AD=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AN$. Обозначим через $Q$ точку пересечения продолжения высоты $BP$ треугольника $ABC$ за точку $P$ с описанной около этого треугольника окружностью $\omega$. Найдите площадь треугольника $BCQ$, если $BC=24$, углы $\angle BNA$ и $\angle BAC$ равны, а радиус окружности $\omega$ равен 13.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ касается оснований $AD$ и $BC$ равнобокой трапеции $ABCD$ в их серединах и пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ таких, что $K$ лежит между $A$ и $L$, а $AK=24$, $KL=30$, $BL=10$. Найдите квадрат радиуса окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ с тупым углом $B$ как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, пересекающиеся в точках $B$ и $D$. Хорда $BE$ окружности $\omega_1$ перпендикулярна $BC$, а хорда $BF$ окружности $\omega_2$ перпендикулярна $CE$ и касается $\omega_1$. Найдите отношение $BF:BD$, если $\cos\angle BCE=\dfrac{3}{5}$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности $\omega_1$, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $BOC$, пересекает отрезок $AB$ в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AP=\dfrac{15}{2}$, $BP=5$, $AC=9$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ с диаметром $AB$ пересекает сторону $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ в точке $D$. Точка $F$ выбрана на отрезке $AC$ так, что $DF\perp AC$, а $E$ — точка пересечения отрезка $DF$ с окружностью $\omega$, отличная от $D$. Найдите $AF$, если $AC=10$, $AB=6$, $BE=5$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) описана окружность $\Omega$. Прямая, содержащая биссектрису $AD$ треугольника $ABC$, пересекает повторно $\Omega$ в точке $E$. Найдите периметр четырёхугольника $ABEC$, если известно что площади треугольников $BED$ и $CED$ равны 5 и 6 соответственно.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$ и через его точку пересечения биссектрис $I$, причём прямая $AI$ касается этой окружности. Пусть $X$ и $Y$ — точки пересечения сторон $AB$ и $BC$ соответственно с этой окружностью, а $Z$ есть точка пересечения стороны $AC$ с прямой $IY$. Найдите $BY$, если $XI=3{,}5$; $AZ=5$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle A=90^\circ$) с катетами $51$ и $70$ вписан в окружность $\Gamma$. Пусть $E$ и $F$ — середины меньших дуг $AB$ и $AC$ описанной окружности. Вычислите длину части отрезка $EF$, попавшей внутрь треугольника $ABC$. Ответ округлите до сотых.
Ответ:
Решение:
Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\Omega$. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, $CF$ — биссектриса угла $C$ треугольника $ABC$. Прямые $ED$ и $CF$ пересекаются в точке $G$, принадлежащей $\Omega$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $BCF$ в $16$ раз больше площади треугольника $DGF$.
Ответ:
Решение:
Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BD$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $T$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $CD$ соответственно. Известно, что $PM\parallel TN$.
а) Найдите угол $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $MP=\frac12$, $NT=\frac52$, $BD=2$. Найдите площадь треугольника.
а) Найдите угол $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $MP=\frac12$, $NT=\frac52$, $BD=2$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности центром $O$ имеют длину 10. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$, причем $DP=3$. Прямая $PO$ пересекают отрезок $AC$ в точке $L$. Найдите отношение $AL:LC$.
Ответ:
Решение:
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AP$ в точке $E$ и отрезок $CQ$ — в точке $F$. Найдите отношение $AE:CF$, если $QF=4$, $PE=5$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность $\Omega$ с диаметром $5$ описана вокруг треугольника $ABM$, где $M$ — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч $CB$ и отрезок $AD$ в точках $E$ и $K$ соответственно. Длина дуги $AE$ в два раза больше длины дуги $BM$ (дуги $AE$ и $BM$ не имеют общих точек). Длина отрезка $MK$ равна $3$. Найдите длины отрезков $BC$, $BK$ и периметр треугольника $EBM$.
Ответ:
Решение: