Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BD$. На отрезке $BD$ выбрали точку $K$ так, что $AD\parallel KC$. Описанная окружность треугольника $KDC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. Известно, что $\angle ABD=48^\circ$ и $\angle CBD=13^\circ$. Сколько градусов составляет угол $BAL$?
Ответ:
Решение:
На окружности $\omega$ по разные стороны от диаметра $AC$ расположены точки $B$ и $D$. Известно, что $AB=3\sqrt{6}$, $CD=3$, а площадь треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BCD$. Найдите радиус окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ сторона $BC$ вдвое меньше, чем $AD$. Диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, а диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Найдите больший острый угол этого четырёхугольника, если меньший равен $36^\circ$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $ABCD$ таков, что $AD=2AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Внутри прямоугольника нашлась точка $K$ такая, что $\angle AMK=80^\circ$ и луч $KD$ является биссектрисой угла $MKC$. Сколько градусов составляет угол $KDA$?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=42$ и $BC=56$. Окружность, проходящая через точку $B$, пересекает сторону $AB$ в точке $P$, сторону $BC$ — в точке $Q$, а сторону $AC$ — в точках $K$ и $L$. Известно, что $PK=KQ$ и $QL:PL=3:4$. Найдите $PQ^2$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных на прямую $DE$ из точек $A$ и $C$ соответственно. Докажите, что $ME=DN$.
Ответ:
Решение:
Из вершины тупого угла $A$ треугольника $ABC$ опущена высота $AD$. Проведена окружность с центром $D$ и радиусом $DA$, которая вторично пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $AC$, если $AB=c$, $AM=m$ и $AN=n$.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=BC$. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведён диаметр $CC'$. Прямая, проходящая через точку $C'$ параллельно $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Докажите, что $M$ — середина отрезка $C'P$.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Оказалось, что касательная в точке $D$ к описанной окружности параллельна биссектрисе угла $ABC$, и при этом $\angle ABD=10^\circ$ и $\angle DBC=92^\circ$. Найдите $\angle BCA$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
Три окружности радиусами 3, 5, 7 расположены так, что общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них.
1. Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей.
2. Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
1. Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей.
2. Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Omega$. Точка $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\Omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Отрезки $BM$ и $CM$ пересекают отрезок $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]
Ответ:
Решение:
Стороны $AD$ и $DC$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равны. На стороне $BC$ отмечена точка $X$ так, что $AB=BX$. Известно, что $\angle B=34^\circ$, $\angle XDC=52^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $\angle ABC=128^\circ$, $\angle CDE=90^\circ$, $\angle AED=104^\circ$, $AB=BC$, $AE=ED$. Сколько градусов составляет угол $ADB$?
Ответ:
Решение:
На окружности по часовой стрелке расположены точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, как изображено на рисунке. Хорды $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$ под прямым углом, хорды $AD$ и $BF$ пересекаются в точке $Y$. Известно, что $CX=12$, $XE=27$, $XY=15$, $BY=9$, $YF=11$.
1. Найдите длину отрезка $AD$.
2. Найдите радиус окружности.
1. Найдите длину отрезка $AD$.
2. Найдите радиус окружности.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH$. Окружность, проходящая через точки $A$ и $H$, пересекает катеты $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AX=5$, $AY=6$, $AB=9$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ABD=\angle ACD=90^\circ$, $\angle CAD=42^\circ$. Лучи $CB$ и $DA$ пересекаются в точке $K$. Известно, что $BK=3$, $AD=6$.
1. Сколько градусов составляет угол $BKA$?
2. Сколько градусов составляет угол $BAC$?
1. Сколько градусов составляет угол $BKA$?
2. Сколько градусов составляет угол $BAC$?
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ ($M$ лежит на отрезке $AN$). Известно, что $AB=AN$, $BC=MC$. Описанные окружности треугольников $ABM$ и $CBN$ пересекаются в точках $B$ и $K$. Сколько градусов составляет угол $AKC$, если $\angle ABC=68^\circ$?
Ответ:
Решение:
На стороне $AD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$, а на продолжении луча $AB$ за точку $B$ — точку $L$. Известно, что $\angle LKC=45^\circ$, $AK=1$, $KD=2$. Найдите $LB$.
Ответ:
Решение:
На полуокружности с диаметром $AD$ отмечены точки $B$ и $C$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Точка $N$ такова, что $M$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BC$ и $DN$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Внутри квадрата $ABCD$ отмечены точки $K$ и $M$ (точка $M$ находится внутри треугольника $ABD$, точка $K$ — внутри $BMC$) так, что треугольники $BAM$ и $DKM$ равны ($AM=KM$, $BM=MD$, $AB=KD$). Найдите $\angle KCM$, если $\angle AMB=100^\circ$.
Ответ:
Решение: