Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что \[\angle ABM=\angle MIC \quad\text{и}\quad \angle BIM=\angle MCD.\] Докажите, что $AI=DI$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $K$ — середина биссектрисы $BL$. Известно, что $AK=AL$ и $AK\perp BC$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны. На сторонах $AB$ и $BC$ нашлись соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $MN\parallel AD$ и $MN=2AD$. Пусть $K$ — середина отрезка $MN$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $KH$ и $CD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle ABC=60^\circ$, отмечена точка $T$ так, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC=120^\circ$. Медианы треугольника пересекаются в точке $M$. Прямая $TM$ пересекает вторично окружность, описанную около треугольника $ATC$, в точке $K$. Найдите $TM/MK$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_b$ с центром в точке $O_b$ проходит через точку $B$ и касается прямой $CI$ в точке $I$. Окружность $\omega_c$ с центром в точке $O_c$ проходит через точку $C$ и касается прямой $BI$ в точке $I$. Отрезки $O_bO_c$ и $IJ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $IK/KJ$.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt AC$, пересекаются в точке $H$, а $O$ — центр описанной около него окружности $\Omega$. Отрезок $OH$ пересекает описанную около треугольника $BHC$ окружность в точке $X$, отличной от $O$ и $H$. Окружность, описанная около треугольника $AOX$, пересекает меньшую дугу $AB$ окружности $\Omega$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $XY$ делит отрезок $BC$ пополам.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN=45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, $X$ — середина диагонали $AC$. Оказалось, что $CD\parallel BX$. Найдите $AD$, если известно, что $BX=3$, $BC=7$, $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $\ell$, как изображено на рисунке. Из точек $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BX$ и $DY$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если известно, что $BX=4$, $DY=10$, $BC=2AB$.
Ответ:
Решение:
Вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ соединили отрезками с серединами сторон $BC$ и $CD$. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол $BAD$: острым, прямым или тупым.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$, $AB=2BC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает $AC$ в точке $D$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Прямая, параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $T$ соответственно, а медиану $AM$ — в точке $Q$. Известно, что $PQ=3$, а $QT=5$. Найдите длину $AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены высота $BH$ и медианы $AM$ и $CK$. Докажите, что треугольники $KHM$ и $ABC$ подобны.
Ответ:
Решение:
Два квадрата имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков $AB$ и $CD$, показанных на рисунке.
Ответ:
Решение:
Дан тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом $C$. На его сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $\angle ACP=\angle CPQ=90^\circ$. Найдите длину отрезка $PQ$, если известно, что $AC=25$, $CP=20$, $\angle APC=\angle A+\angle B$.
Ответ:
Решение:
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ такова, что $DOCP$ — тоже параллелограмм ($CD$ — его диагональ). Обозначим через $Q$ точку пересечения $BP$ и $AC$, а через $R$ — точку пересечения $DQ$ и $CP$. Докажите, что $PC=CR$.
Ответ:
Решение:
Внутри трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$), где $AD=2BC$, взята точка $F$, для которой $AB=FB$. Точка $M$ — середина отрезка $FD$. Докажите, что $CM\perp FA$.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция $ABCD$. Рассматривают точки $Q$ и $P$ на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, для которых $CP=AQ$. Докажите, что середины всех таких отрезков $PQ$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Внутри острого угла расположен выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Оказалось, что для каждой из двух прямых, содержащих стороны угла, выполняется условие: сумма расстояний от вершин $A$ и $C$ до этой прямой равна сумме расстояний от вершин $B$ и $D$ до этой же прямой. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.
Ответ:
Решение: