Производная

Найти промежутки возрастания и убывания функции $y=-x^3+6x^2-9x$.

Найти промежутки возрастания и убывания функции $y=2x^3-21x^2+60x$.

Найти производные следующих функций и вычислить значения производных в указанной точке $x_0$:
а) $\displaystyle y=\frac{x^2+1}{\sin x}$, $\displaystyle x_0=\frac{\pi}{2}$,
б) $\displaystyle y=x^3\cos x$, $\displaystyle x_0=\pi$,
в) $\displaystyle y=e^{x^2-3x}$, $\displaystyle x_0=1{,}5$.

Найти производные следующих функций и вычислить значения производных в указанной точке $x_0$:
а) $\displaystyle y=\frac{x^2-2}{\cos x}$, $\displaystyle x_0=\pi$,
б) $\displaystyle y=x^5\sin x$, $\displaystyle x_0=\pi$,
в) $\displaystyle y=\sqrt{x^2+8x}$, $\displaystyle x_0=1$.

Найти производные следующих функций и вычислить значения производных в указанной точке $x_0$:
а) $\displaystyle y=\frac{\ln x}{x^2+1}$, $\displaystyle x_0=1$,
б) $\displaystyle y=x^3\,e^x$, $\displaystyle x_0=1$,
в) $\displaystyle y=\cos(2x-5)$, $\displaystyle x_0=\frac{\pi+10}{4}$.

Найти производные следующих функций и вычислить значения производных в указанной точке $x_0$:
а) $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x^3-1}$, $\displaystyle x_0=0$,
б) $\displaystyle y=x^4 \ln x$, $\displaystyle x_0=1$,
в) $\displaystyle y=\text{tg}\,(2x+1)$, $\displaystyle x_0=\frac{\pi-4}{8}$.

Число 24 представить в виде произведения двух положительных чисел $x$ и $\displaystyle y=\frac{24}{x}$, так чтобы сумма $S=2x+3y$ удвоенного первого и утроенного второго числа была наименьшей ($2x+3y \to \min$). Чему равна эта наименьшая сумма?

Точка $A$ лежит на параболе $y=x^2-1$, точка $B$ лежит на прямой $y=4x-22$. Найти наименьшую длину отрезка $AB$.

Точка $A$ лежит на параболе $y=x^2+1$, точка $B$ лежит на прямой $y=2x-5$. Найти наименьшую длину отрезка $AB$.

Найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x)=x^2-8x+4\ln(x-1)$.

Найти промежутки возрастания и убывания функции $\displaystyle f(x)=56\ln(x+2)+x^2-18x$.

Найти промежутки возрастания и убывания функции $\displaystyle f(x)=40\ln(x+3)+x^2-12x$.

Найти промежутки возрастания и убывания функции $\displaystyle f(x)=42\ln(x+2)+x^2-16x$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2+4x-4}{(x-1)^2}$ на отрезке $[-2;~0]$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3x^2-4x+8}{2x-2}$ на отрезке $[1{,}5;~3]$.

Найти нули производной функции $f(x)=\cos 2x+4\sin x+2\cos x+2x+1$.

Найти нули производной функции $f(x)=\cos 2x-4\sin x-2\cos x+2x+1$.

Найти нули производной функции $f(x)=\cos 2x-2\sin x-4\cos x+2x+1$.

Найти нули производной функции $f(x)=\cos2x+2\sin x+4\cos x+2x+1$.

Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса $R$.